条件付き確率
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開始行:
*条件付き確率 conditional probability[#bfa3044a]
In probability theory, a conditional expectation (also kn...
一般的に,事象Bが起きたという条件の下で、事象Aが起きる確...
P (A|B) = P(A∩B)/P(B)
*例題 [#gb4ee379]
ある家庭に子どもが2人います。1人が男性であることがわかり...
-答え:(男、男)(男、女)(女、男)(女、女)の場合があ...
-1人以上が男の事象Bの確率p(B)=3/4、二人とも男性の事象Aの...
10人が10個のあみだくじで、順番に引きます。当たりくじは1個...
-答え:1/9
*ベルヌーイ試行 [#ufb0a392]
1回の試行で、表がでれば1、裏が出れば0となる確率変数Xを...
表が出る確率をp、裏が出る確率をq=1-pとする。
このときの確率密度関数f(x)は、
f(x)=p^x・q^(1-x)
このとき、1回の試行の期待値は、
E(x)=p・1+q・0=p
である。
分散は
V(x)=E[(x-E(x))^2]=E[(x-p)^2]=E(x^2)-2pE(x)+p2=...
である。
独立にN回試行した時、Y=x1+x2+・・・+xN なる確率はどの...
-答え:2項分布である。
*独立性 [#j9356586]
事象Aと事象Bが独立であるとは、条件付き確率が次式であらわ...
P(A∩B)=P(A)・P(B)
P(A|B)=P(A)
*例題:ベルヌーイ試行 [#df127a67]
以下の文章は正しいか?
「サイコロを振ったところ、5回偶数がでた。6回目の予想をし...
-解答:独立な事象なので、過去の履歴によらない。
*例題:コイン投げ [#n045f8c3]
コインを投げて、表がでれば1、裏が出れば-1の値をとるよう...
いまコインを三回投げるものとする。三回投げた合計の値を知...
-解答:各回の結果をxiとすれば、3回投げた結果の値はx1+x2+...
試行は同一の確率密度関数P(x)に従い、独立であるので
Py(Y)=P(x1)P(x2)P(x3)=P(x)^3
P(x)は、X=1でP(1)=1/2、X=-1でP(-1)=1/2の確率である。
Py(Y)は、
1,1,1でY=3となる確率が1/8
1,1,-1でY=1となる確率が1/8
1,-1,1でY=1となる確率が1/8
1,-1,-1でY=-1となる確率が1/8
-1,1,1 でY=1となる確率が1/8
-1,1,-1でY=-1となる確率が1/8
-1,-1,1でY=-1となる確率が1/8
-1,-1,-1でY=-3となる確率が1/8
である。
Py(Y)は、Py(3)=1/8、Py(1)=3/8、Py(-1)=3/8 P(-3)=1/8の離...
Yの期待値は、確率と確率変数の積和で定義されるので
E(Y)=3Py(3)+1py(1)-1py(-1)-3Py(-3)=3/8+3/8-3/8-3/8=0
である。直観通りでしょう。
さて、合計がある値であるという条件のもとでのX1の期待値で...
-合計が3の時は、P(x1|Y=3)は、必ずP(x1)=1で、x1=1です。
-合計が1のとき、P(x1|Y=1)は、
P(1|Y=1)=2/3
P(-1|Y=1)=1/3
E(x1|y=1)=2/3-1/3=1/3
となるので、条件付期待値は1/3です。
-合計が-1の時、
P(1|Y=-1)=1/3
P(-1|Y=-1)=2/3
E(x1|y=1)=-1/3-2/3=-1/3
となるので、条件付期待値は-1/3です。
-合計が-3の時はP(x1|Y=-3)は、必ずP(x1)=1でx1=-1です。
-以上まとめれば、''3回の合計値Y与えられた時、1回目の試行...
*公式 [#m00dd24e]
条件付期待値にはつぎのような公式が整理されている。a、bは...
E(X1+X2|Y)=E(X1|Y)+E(X2|Y)
E(aX1|Y)=aE(X1|Y)
E(a|Y)=a
E(Y|Y)=Y
したがって、たとえば、E(aX1+bY|Y)=aE(X1|Y)+bY である。
上記のコインの例は、この公式を利用して次のように解く。
E(X1|Y)=E(Y-X2-X3|Y)
=E(Y|Y)-E(X2|Y)-E(X3|Y)
ところが、コインの例では投げる試行はすべて独立で等価だか...
E(X1|Y)=E(X2|Y)=E(X3|Y)
であることに気づくと、これを左辺に移項すれば、
3E(X1|Y)=Y
故に、E(X1|Y)=Y/3
となる。確かにYの関数となっている。
''このように条件付き期待値は、条件の変数の関数として与え...
--条件付期待値は期待値とは名ばかりであり、確率変数の関数...
*例題:ベルヌーイ試行 [#j4ae9c10]
上記の例題を一般的に書いてみよう。
コインを3回投げた時の同時確率密度関数を考える。
-まず、''1回なげたときの確率密度関数''を求める。
Z=x/2+1/2なる変換を行うと,x=1の時z=1,x=-1の時、Z=0となっ...
1回投げた時のベルヌーイ試行の密度関数はzを使って
そこでP(z)は、次式で表わすことができる。成功確率をpとする...
P(z)=p^(z)q^(1-z)
で表わされる。
-次に''3回投げた時の同時確率密度関数''は、独立性から積の...
P(z1,z2,z3)=p^(z1)q^(1-z1)p^(z2)q^(1-z2)p^(z3)q^(1-z3)
P(z1,z2,z3)=p^(z1+z2+z3)q^[3-(x1+x2+x3)]
で表わされる。例題のように、p(1,1,1)=p^3などとたしかにな...
これが、同時確率である。
-つぎに、''3回試行して、Y回表がでる確率密度''、すなわちY=...
P(Y)=3CY p^Y q^(3-Y)
で表わされる。
--たしかに、Y=3の時は、P(3)=1/8(1/8,8通りのうち1通りしか...
-次に、''成功回数が与えられた時の条件付き確率密度''を考え...
ベイズの定理より
P(z1,z2,z3|Y)=P(z1,z2,z3)/P(Y)
となるので、これまでの式を使って、
P(z1,z2,z3|Y)=p^(z1+z2+z3)q^[3-(z1+z2+z3)]/{3CY p^Y q^...
P(z1,z2,z3|Y)=[1/3CY]p^(z1+z2+z3-Y)q^[-(z1+z2+z3)+Y]
と表わされる。
#ref(Probability of Coin.JPG)
-Yが与えられた時のz1の条件付き期待値
上の表から、
Y=3-->E(z1|3)=3 z1は確実に1
Y=2-->E(z1|2)=2/3 E(z1|2)=1(2/3)+0(1/3)
Y=2-->E(z1|1)=1/3 E(z1|2)=1(1/3)+0(2/3)
Y=0-->E(z1|1)=0/3 z1は確実に0
となっており、E(z1|Y)=Y/3 であることがわかる。
これは
E(z1|Y)=Σz1P(z1|j) Σは、j=1から4(全てのYの値)での合計
の計算である。
*例題:ロシアンルーレットの問題 [#bbf72b01]
ロシアンルーレット(Russian roulette)は、リボルバー式拳...
ランダム方式
1人が引き金を引いた後、再び弾倉を回転させ次の者に渡す。...
-ランダム方式では、一人が引き金を引いた時に弾が発射する確...
順番方式
1人が引き金を引いた後、そのまま次の者が引き金を引く。同...
-順番方式では、後になるほど引き金を引いた時に弾が発射する...
*故障確率 [#v0403843]
単位期間中の故障発生確率が1%であるように調整されたシス...
-解答:故障発生確率が1%ということは、故障が発生しない確...
これが100回繰り返して成立する確率なので、0.99の直列(AND...
よって、0.99^100=0.366≒1/3。(あるいは(1-0.01)100=0.3...
終了行:
*条件付き確率 conditional probability[#bfa3044a]
In probability theory, a conditional expectation (also kn...
一般的に,事象Bが起きたという条件の下で、事象Aが起きる確...
P (A|B) = P(A∩B)/P(B)
*例題 [#gb4ee379]
ある家庭に子どもが2人います。1人が男性であることがわかり...
-答え:(男、男)(男、女)(女、男)(女、女)の場合があ...
-1人以上が男の事象Bの確率p(B)=3/4、二人とも男性の事象Aの...
10人が10個のあみだくじで、順番に引きます。当たりくじは1個...
-答え:1/9
*ベルヌーイ試行 [#ufb0a392]
1回の試行で、表がでれば1、裏が出れば0となる確率変数Xを...
表が出る確率をp、裏が出る確率をq=1-pとする。
このときの確率密度関数f(x)は、
f(x)=p^x・q^(1-x)
このとき、1回の試行の期待値は、
E(x)=p・1+q・0=p
である。
分散は
V(x)=E[(x-E(x))^2]=E[(x-p)^2]=E(x^2)-2pE(x)+p2=...
である。
独立にN回試行した時、Y=x1+x2+・・・+xN なる確率はどの...
-答え:2項分布である。
*独立性 [#j9356586]
事象Aと事象Bが独立であるとは、条件付き確率が次式であらわ...
P(A∩B)=P(A)・P(B)
P(A|B)=P(A)
*例題:ベルヌーイ試行 [#df127a67]
以下の文章は正しいか?
「サイコロを振ったところ、5回偶数がでた。6回目の予想をし...
-解答:独立な事象なので、過去の履歴によらない。
*例題:コイン投げ [#n045f8c3]
コインを投げて、表がでれば1、裏が出れば-1の値をとるよう...
いまコインを三回投げるものとする。三回投げた合計の値を知...
-解答:各回の結果をxiとすれば、3回投げた結果の値はx1+x2+...
試行は同一の確率密度関数P(x)に従い、独立であるので
Py(Y)=P(x1)P(x2)P(x3)=P(x)^3
P(x)は、X=1でP(1)=1/2、X=-1でP(-1)=1/2の確率である。
Py(Y)は、
1,1,1でY=3となる確率が1/8
1,1,-1でY=1となる確率が1/8
1,-1,1でY=1となる確率が1/8
1,-1,-1でY=-1となる確率が1/8
-1,1,1 でY=1となる確率が1/8
-1,1,-1でY=-1となる確率が1/8
-1,-1,1でY=-1となる確率が1/8
-1,-1,-1でY=-3となる確率が1/8
である。
Py(Y)は、Py(3)=1/8、Py(1)=3/8、Py(-1)=3/8 P(-3)=1/8の離...
Yの期待値は、確率と確率変数の積和で定義されるので
E(Y)=3Py(3)+1py(1)-1py(-1)-3Py(-3)=3/8+3/8-3/8-3/8=0
である。直観通りでしょう。
さて、合計がある値であるという条件のもとでのX1の期待値で...
-合計が3の時は、P(x1|Y=3)は、必ずP(x1)=1で、x1=1です。
-合計が1のとき、P(x1|Y=1)は、
P(1|Y=1)=2/3
P(-1|Y=1)=1/3
E(x1|y=1)=2/3-1/3=1/3
となるので、条件付期待値は1/3です。
-合計が-1の時、
P(1|Y=-1)=1/3
P(-1|Y=-1)=2/3
E(x1|y=1)=-1/3-2/3=-1/3
となるので、条件付期待値は-1/3です。
-合計が-3の時はP(x1|Y=-3)は、必ずP(x1)=1でx1=-1です。
-以上まとめれば、''3回の合計値Y与えられた時、1回目の試行...
*公式 [#m00dd24e]
条件付期待値にはつぎのような公式が整理されている。a、bは...
E(X1+X2|Y)=E(X1|Y)+E(X2|Y)
E(aX1|Y)=aE(X1|Y)
E(a|Y)=a
E(Y|Y)=Y
したがって、たとえば、E(aX1+bY|Y)=aE(X1|Y)+bY である。
上記のコインの例は、この公式を利用して次のように解く。
E(X1|Y)=E(Y-X2-X3|Y)
=E(Y|Y)-E(X2|Y)-E(X3|Y)
ところが、コインの例では投げる試行はすべて独立で等価だか...
E(X1|Y)=E(X2|Y)=E(X3|Y)
であることに気づくと、これを左辺に移項すれば、
3E(X1|Y)=Y
故に、E(X1|Y)=Y/3
となる。確かにYの関数となっている。
''このように条件付き期待値は、条件の変数の関数として与え...
--条件付期待値は期待値とは名ばかりであり、確率変数の関数...
*例題:ベルヌーイ試行 [#j4ae9c10]
上記の例題を一般的に書いてみよう。
コインを3回投げた時の同時確率密度関数を考える。
-まず、''1回なげたときの確率密度関数''を求める。
Z=x/2+1/2なる変換を行うと,x=1の時z=1,x=-1の時、Z=0となっ...
1回投げた時のベルヌーイ試行の密度関数はzを使って
そこでP(z)は、次式で表わすことができる。成功確率をpとする...
P(z)=p^(z)q^(1-z)
で表わされる。
-次に''3回投げた時の同時確率密度関数''は、独立性から積の...
P(z1,z2,z3)=p^(z1)q^(1-z1)p^(z2)q^(1-z2)p^(z3)q^(1-z3)
P(z1,z2,z3)=p^(z1+z2+z3)q^[3-(x1+x2+x3)]
で表わされる。例題のように、p(1,1,1)=p^3などとたしかにな...
これが、同時確率である。
-つぎに、''3回試行して、Y回表がでる確率密度''、すなわちY=...
P(Y)=3CY p^Y q^(3-Y)
で表わされる。
--たしかに、Y=3の時は、P(3)=1/8(1/8,8通りのうち1通りしか...
-次に、''成功回数が与えられた時の条件付き確率密度''を考え...
ベイズの定理より
P(z1,z2,z3|Y)=P(z1,z2,z3)/P(Y)
となるので、これまでの式を使って、
P(z1,z2,z3|Y)=p^(z1+z2+z3)q^[3-(z1+z2+z3)]/{3CY p^Y q^...
P(z1,z2,z3|Y)=[1/3CY]p^(z1+z2+z3-Y)q^[-(z1+z2+z3)+Y]
と表わされる。
#ref(Probability of Coin.JPG)
-Yが与えられた時のz1の条件付き期待値
上の表から、
Y=3-->E(z1|3)=3 z1は確実に1
Y=2-->E(z1|2)=2/3 E(z1|2)=1(2/3)+0(1/3)
Y=2-->E(z1|1)=1/3 E(z1|2)=1(1/3)+0(2/3)
Y=0-->E(z1|1)=0/3 z1は確実に0
となっており、E(z1|Y)=Y/3 であることがわかる。
これは
E(z1|Y)=Σz1P(z1|j) Σは、j=1から4(全てのYの値)での合計
の計算である。
*例題:ロシアンルーレットの問題 [#bbf72b01]
ロシアンルーレット(Russian roulette)は、リボルバー式拳...
ランダム方式
1人が引き金を引いた後、再び弾倉を回転させ次の者に渡す。...
-ランダム方式では、一人が引き金を引いた時に弾が発射する確...
順番方式
1人が引き金を引いた後、そのまま次の者が引き金を引く。同...
-順番方式では、後になるほど引き金を引いた時に弾が発射する...
*故障確率 [#v0403843]
単位期間中の故障発生確率が1%であるように調整されたシス...
-解答:故障発生確率が1%ということは、故障が発生しない確...
これが100回繰り返して成立する確率なので、0.99の直列(AND...
よって、0.99^100=0.366≒1/3。(あるいは(1-0.01)100=0.3...
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