正規分布
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開始行:
*正規分布(Normal distribution) とは [#bade0a3b]
確率変数Xが正規分布であるとは、確率密度関数が、平均 μ=E(...
#ref(NormalDistribution.png)
平均が零、分散が1の正規分布は、N(0,1) 標準正規分布と呼...
#ref(simpleNormal.png)
--ガウス分布とかベル曲線とも呼ばれる。
*中心極限定理 [#t5c8e2a6]
母集団が正規分布に従うとき、そこから独立に抽出した標本値(...
Lim(n-->大)(x1+x2+・・・・+xn)/n ---> N(μ,σ/√n)
xが平均μ,標準偏差σの正規分布にしたがうならば,大きさnの...
--正規分布にしたがうものは,平均であるということです。標...
--標準正規分布では、xが区間x-1.96とx+1.96の間にある確率は...
*信頼度と信頼区間 [#c0f92c85]
中心極限定理から、標本平均の信頼度が評価できます。
母集団の平均が、未知であるとき、標本平均から母集団の平均...
-例題:400 個の卵を無作為に抽出して重さを計ったところ,平...
--解答:中心極限定理を使う。N(μ,σ/√n)に近いと考える。95%...
*母分散の推定 [#i20af191]
前の問題では、母標準偏差が分かっている必要がありました。...
標本分散σx^2と母分散σ^2の関係式を見つけましょう。
σx^2=Σ(xi-μx)^2/n=Σ(xi)^2/n-μx^2
この期待値がどのようにあらわされるかが問題である。
ここで、E(xi^2)を母平均μと母標準偏差σで表わす。
E(xi^2)=E(xi-μ+μ)^2
=E(xi-μ)^2+2E(xi-μ)μ+μ^2
=σ^2+2μ・0+μ^2=σ^2+μ^2
またμx^2を母平均μと母標準偏差σで表わす。μx=Σxi/n=Σ(xiーμ)...
E(μx^2]=E[(Σxi/n)^2]=E[Σ(xiーμ)/n+μ]^2
=E[(1/n^2)ΣΣ(xiーμ)(xj-μ)+(1/n)2(Σμ・(xiー...
E(xi-μ)^2=σ^2 かつiとjが異なるときE(xiーμ)(xjーμ)=0であ...
μx^2=(1/n^2)n σ^2+μ^2
これらを代入すれば
E(σx^2)=E[Σ(xi)^2/n]-E[μx^2]
=n(σ^2+μ^2)/n- σ^2/n-μ^2
=[(n-1)/n]・σ^2
ゆえに、σx^2は不偏推定量ではない。そこで、
S^2=σx^2・n/(n-1)=Σ(xi-μx)^2/(n-1)
が、不偏推定量になる。
n が十分大きければ,E[σx]-σ2=-(1/n)σ2 となりますので,漸...
*条件付き期待値の定理 [#af2b2357]
条件付き期待値と分散の重要な定理
-2つの変量YとXが、正規分布に従うとする。この時、Yが観測さ...
X,Y~N((mX,mY), S)
-Yが与えられたときのXの条件付分布は
期待値= mX +(sxy/syy)(Y-my)
分散= (syysxx-sxysyx)/syy=sxx-sxysyx/syy
-(解説)
--Yが観察されることにより、状態変数Xの分散はsxx からsxx-s...
*参考 [#g69609aa]
-[[正規分布の条件付き確率と最小二乗法の関係>http://www1.p...
--条件付き期待値の定理の証明が乗っています。
終了行:
*正規分布(Normal distribution) とは [#bade0a3b]
確率変数Xが正規分布であるとは、確率密度関数が、平均 μ=E(...
#ref(NormalDistribution.png)
平均が零、分散が1の正規分布は、N(0,1) 標準正規分布と呼...
#ref(simpleNormal.png)
--ガウス分布とかベル曲線とも呼ばれる。
*中心極限定理 [#t5c8e2a6]
母集団が正規分布に従うとき、そこから独立に抽出した標本値(...
Lim(n-->大)(x1+x2+・・・・+xn)/n ---> N(μ,σ/√n)
xが平均μ,標準偏差σの正規分布にしたがうならば,大きさnの...
--正規分布にしたがうものは,平均であるということです。標...
--標準正規分布では、xが区間x-1.96とx+1.96の間にある確率は...
*信頼度と信頼区間 [#c0f92c85]
中心極限定理から、標本平均の信頼度が評価できます。
母集団の平均が、未知であるとき、標本平均から母集団の平均...
-例題:400 個の卵を無作為に抽出して重さを計ったところ,平...
--解答:中心極限定理を使う。N(μ,σ/√n)に近いと考える。95%...
*母分散の推定 [#i20af191]
前の問題では、母標準偏差が分かっている必要がありました。...
標本分散σx^2と母分散σ^2の関係式を見つけましょう。
σx^2=Σ(xi-μx)^2/n=Σ(xi)^2/n-μx^2
この期待値がどのようにあらわされるかが問題である。
ここで、E(xi^2)を母平均μと母標準偏差σで表わす。
E(xi^2)=E(xi-μ+μ)^2
=E(xi-μ)^2+2E(xi-μ)μ+μ^2
=σ^2+2μ・0+μ^2=σ^2+μ^2
またμx^2を母平均μと母標準偏差σで表わす。μx=Σxi/n=Σ(xiーμ)...
E(μx^2]=E[(Σxi/n)^2]=E[Σ(xiーμ)/n+μ]^2
=E[(1/n^2)ΣΣ(xiーμ)(xj-μ)+(1/n)2(Σμ・(xiー...
E(xi-μ)^2=σ^2 かつiとjが異なるときE(xiーμ)(xjーμ)=0であ...
μx^2=(1/n^2)n σ^2+μ^2
これらを代入すれば
E(σx^2)=E[Σ(xi)^2/n]-E[μx^2]
=n(σ^2+μ^2)/n- σ^2/n-μ^2
=[(n-1)/n]・σ^2
ゆえに、σx^2は不偏推定量ではない。そこで、
S^2=σx^2・n/(n-1)=Σ(xi-μx)^2/(n-1)
が、不偏推定量になる。
n が十分大きければ,E[σx]-σ2=-(1/n)σ2 となりますので,漸...
*条件付き期待値の定理 [#af2b2357]
条件付き期待値と分散の重要な定理
-2つの変量YとXが、正規分布に従うとする。この時、Yが観測さ...
X,Y~N((mX,mY), S)
-Yが与えられたときのXの条件付分布は
期待値= mX +(sxy/syy)(Y-my)
分散= (syysxx-sxysyx)/syy=sxx-sxysyx/syy
-(解説)
--Yが観察されることにより、状態変数Xの分散はsxx からsxx-s...
*参考 [#g69609aa]
-[[正規分布の条件付き確率と最小二乗法の関係>http://www1.p...
--条件付き期待値の定理の証明が乗っています。
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