直線
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開始行:
*2点間を結ぶ最短の連続曲線は直線 [#n5d1bad3]
あたりまえですが・・・
証明できますか。
この問題を例に挙げて、汎関数、変分法、オイラーの方程式を...
*2点間を結ぶ連続曲線 [#s22e73a4]
これを y=f(x)としましょう。
区間(0,1)の間の、この曲線の長さを積分で表現しましょう。
直角座標系での微小な線分dsは、
ds^2=(dx)^2+(dy)^2
で表されます。
そこで 適当な区間の長さIは
I=∫ ds= ∫SQRT((1+(dy/dx)^2)dx
です。上の式が最小となる関数y=f(x)を求めるとよいです。
ここで、Lなる関数を考えます。これは、上の積分の中の関数で...
L=L(x,y,dy/dx)=SQRT((1+(dy/dx)^2) ・・・・eq.1
問題は、I=∫L(x,y,dy/dx)dx が局地をもつような関数Lを求め...
ここで、変分を定義します。
#ref(hennbun.JPG)
y(x)の近傍に関数Y(x)を考え、変分δyとは、yとYの差分であり...
δy=Y(x)-y(x) ・・・・eq.2
これから長さLの変化をδLとすれば
δL=L(x,Y,dY/dx)-L(x,y,dy/dx) ・・・・eq.3
で表されます。
次に関数Y(x)とy(x)の点xにおける微分係数の差をδ(dy/dx)=δy...
δ(dy/dx)=dY/dx-dy/dx=d(Y-y)/dx=d(δy)/dx ・・・eq.4
上式をみれば、δ(dy/dx)はd(δy)/dxと同じであり、変分と微分...
ここで、長さの変化δIをeq.2とeq.3を使って、eq.4の性質から...
δL=L(x,Y,dY/dx)-L(x,y,dy/dx)
=L(x,y+δy,dy/dx+d(δy)dx)-L(x,y,dy/dx)
=L(x,y+δy,dy/dx+δ(dy/dx))-L(x,y,dy/dx)
=(∂L/∂y)δy+(∂L/∂y')δy' ・・・・・・eq.5
変分計算は、微分計算と同様のルールで適用できることが分か...
長さIが、最短であることは、yとy+δyの差がなくなること
δI=δ(∫L(x,y,dy/dx)dx)=∫δLdx=0 ・・・・・・・eq.6
であることです。
そこで、eq.5を上の式に代入しeq.4を用いてて解いてみましょう
∫[(∂L/∂y)δy+(∂L/∂y')d(δy)/dx]dx=0
上の式の第2項は部分積分すると
第2項=∫(∂L/∂y')δy'dx=∫[(∂L/∂y')d/dx(δy)]dx={(∂L/∂y')・δ...
ここで積分の両端が固定されている条件からδ(y0)、δ(y1)がゼ...
∫[(∂L/∂y)δy-d/dx(∂L/∂y')・δy]dx=0
∫[(∂L/∂y)-d/dx(∂L/∂y')]δydx=0
上式は 任意にδyを選んでも成り立つためには、[]内の被積分関...
この条件を''オイラーの方程式''と呼び、下記の通りの式である
(∂L/∂y)-d/dx(∂L/∂y')=0
Lがeq.1であらわされる2点間を結ぶ曲線の長さの問題の場合、...
d/dx[∂/∂y'[SQRT(1+(y')^2)]=0
これから
y'/SQRT(1+(y')^2 )=0 すなわち
y'=dy/dx=0 (直線)
2点間を結ぶ最短の曲線は1直線である。
*問題: dy/dx=x の場合は2次曲線ですが、その長さを求めるに...
次の式を示しなさい。(積分定数:C)
∫√(1+X^2)dX = X*√(1+X^2) /2 + (Log(X+√(1+X^2)) /2 +C
-問題 Y = f(X) = aX^2 + bX + C の
曲線の長さ L(X) を求めなさい。
-解法例:
f'(X) = 2aX + b
L(X) =∫ √(1+(2aX+b)^2) dX
ここで t=2aX+b とおいて置換積分する。
L(X)= (2aX+b)*√(1+(2aX+b)^2) /4a+Log((2aX+b+√(1+(2aX+b)^...
*部分積分 [#w3d639d7]
(f・g)'=f'・g+f・g'の両辺を積分して、整理すると得られる
#ref(bubun-sekibun.gif)
*汎関数 [#n57cdd42]
Lは汎関数です。ある関数y(x) に対して1 つの値L が対応する...
-物理では、エネルギー最小とか時間最小などの最適状態をもと...
-Lをラグランジェ関数と呼んだりします。
終了行:
*2点間を結ぶ最短の連続曲線は直線 [#n5d1bad3]
あたりまえですが・・・
証明できますか。
この問題を例に挙げて、汎関数、変分法、オイラーの方程式を...
*2点間を結ぶ連続曲線 [#s22e73a4]
これを y=f(x)としましょう。
区間(0,1)の間の、この曲線の長さを積分で表現しましょう。
直角座標系での微小な線分dsは、
ds^2=(dx)^2+(dy)^2
で表されます。
そこで 適当な区間の長さIは
I=∫ ds= ∫SQRT((1+(dy/dx)^2)dx
です。上の式が最小となる関数y=f(x)を求めるとよいです。
ここで、Lなる関数を考えます。これは、上の積分の中の関数で...
L=L(x,y,dy/dx)=SQRT((1+(dy/dx)^2) ・・・・eq.1
問題は、I=∫L(x,y,dy/dx)dx が局地をもつような関数Lを求め...
ここで、変分を定義します。
#ref(hennbun.JPG)
y(x)の近傍に関数Y(x)を考え、変分δyとは、yとYの差分であり...
δy=Y(x)-y(x) ・・・・eq.2
これから長さLの変化をδLとすれば
δL=L(x,Y,dY/dx)-L(x,y,dy/dx) ・・・・eq.3
で表されます。
次に関数Y(x)とy(x)の点xにおける微分係数の差をδ(dy/dx)=δy...
δ(dy/dx)=dY/dx-dy/dx=d(Y-y)/dx=d(δy)/dx ・・・eq.4
上式をみれば、δ(dy/dx)はd(δy)/dxと同じであり、変分と微分...
ここで、長さの変化δIをeq.2とeq.3を使って、eq.4の性質から...
δL=L(x,Y,dY/dx)-L(x,y,dy/dx)
=L(x,y+δy,dy/dx+d(δy)dx)-L(x,y,dy/dx)
=L(x,y+δy,dy/dx+δ(dy/dx))-L(x,y,dy/dx)
=(∂L/∂y)δy+(∂L/∂y')δy' ・・・・・・eq.5
変分計算は、微分計算と同様のルールで適用できることが分か...
長さIが、最短であることは、yとy+δyの差がなくなること
δI=δ(∫L(x,y,dy/dx)dx)=∫δLdx=0 ・・・・・・・eq.6
であることです。
そこで、eq.5を上の式に代入しeq.4を用いてて解いてみましょう
∫[(∂L/∂y)δy+(∂L/∂y')d(δy)/dx]dx=0
上の式の第2項は部分積分すると
第2項=∫(∂L/∂y')δy'dx=∫[(∂L/∂y')d/dx(δy)]dx={(∂L/∂y')・δ...
ここで積分の両端が固定されている条件からδ(y0)、δ(y1)がゼ...
∫[(∂L/∂y)δy-d/dx(∂L/∂y')・δy]dx=0
∫[(∂L/∂y)-d/dx(∂L/∂y')]δydx=0
上式は 任意にδyを選んでも成り立つためには、[]内の被積分関...
この条件を''オイラーの方程式''と呼び、下記の通りの式である
(∂L/∂y)-d/dx(∂L/∂y')=0
Lがeq.1であらわされる2点間を結ぶ曲線の長さの問題の場合、...
d/dx[∂/∂y'[SQRT(1+(y')^2)]=0
これから
y'/SQRT(1+(y')^2 )=0 すなわち
y'=dy/dx=0 (直線)
2点間を結ぶ最短の曲線は1直線である。
*問題: dy/dx=x の場合は2次曲線ですが、その長さを求めるに...
次の式を示しなさい。(積分定数:C)
∫√(1+X^2)dX = X*√(1+X^2) /2 + (Log(X+√(1+X^2)) /2 +C
-問題 Y = f(X) = aX^2 + bX + C の
曲線の長さ L(X) を求めなさい。
-解法例:
f'(X) = 2aX + b
L(X) =∫ √(1+(2aX+b)^2) dX
ここで t=2aX+b とおいて置換積分する。
L(X)= (2aX+b)*√(1+(2aX+b)^2) /4a+Log((2aX+b+√(1+(2aX+b)^...
*部分積分 [#w3d639d7]
(f・g)'=f'・g+f・g'の両辺を積分して、整理すると得られる
#ref(bubun-sekibun.gif)
*汎関数 [#n57cdd42]
Lは汎関数です。ある関数y(x) に対して1 つの値L が対応する...
-物理では、エネルギー最小とか時間最小などの最適状態をもと...
-Lをラグランジェ関数と呼んだりします。
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