確率的ボラティリティ モデル
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開始行:
*確率的ボラティリティ モデル [#t525c401]
資産価格の収益率の時系列を確率過程としてモデル化し、その...
-Taylor(1986) は,ARCH(Autoregressive Conditional Heteros...
-Hull and White(1987) は直接,原資産が連続時間SV モデルに...
--ボラティリティが一定であるという仮定は現実の金融市場の...
-オプションの価格付けは,ボラティリティの理論と密接な関係...
インプライドボラティリティはオプション価格の市場情報から...
-標準的な資産価格の確率過程
dSt = μS Stdt + σS StdWt
Wt は標準ブラウン運動
瞬間的なボラティリティσS
--μS とσSが全ての時点t に関して一定であるとは限らない。現...
--μS(It) とσS(It) が全ての時点t に関して一定であるとき, ...
*離散時間モデル:SVモデル [#s3d60e40]
Rt =(St − St−1)/St−1 とし,離散時間の次のSV式を考える.
Rt = σt εt
log σ^2t = γ + φ log σ^2t-1 + ηt
ここで,{εt} ∼ NID(0, 1), {ηt} ∼ NID(0, σ^2η)で互いに独立
--ここで,{εt} と{ηt} は互いに独立な正規分布.したがって...
--SV モデルはTaylor モデルとも呼ばれる
--いま,簡単化のためにE(Rt) = 0 としている.
-ファットテールを捉えるには次の2 つの方法がある. (a) ホワ...
*SV モデルの推定 [#q9afae63]
SV モデルにはパラメータγ, φ, σ^2η が含まれている.これら...
を次のように表現する.
log R^2t= μ + log σ^2t + ξt (2-1)
log σ^2 t = γ + φ log σ^2t−1 + ηt (2-2)
ここで,μ = E(log ε^2t), ξt = log ε^2t− E(log ε^2t).
-パラメータμ は次のように正確に計算可能.
まず,ε^2tが自由度1 のχ^2 分布に従うことから,ε^2t= W と...
m(θ) = E(eθ logW) = E(Wθ)
を計算して
#ref(SVequation1.JPG)
となる.したがって,
#ref(SVequation2.JPG)
またσ^2ε は
#ref(SVequation3.JPG)
--SVモデルの尤度関数はARCH型モデルの尤度関数のように簡単...
法は困難である.そこで,尤度に基づかない推定方法が提案さ...
estimation;QMLE) がある。
--またベイズ推定で定式化した時変カルマンフィルタモデルも...
*SVモデルの性質 [#c5a2c7c8]
(a) 収益率{Rt} の条件付き分布はnonnormal
(b) 厳密な尤度関数を導出することは不可能
(c) log R^2tはARMA(1,1) モデル
log R^2t= φ log R^2 t−1 + μ(1 − φ) + γ + ηt + ξt − φξt−1
に従う.
ここで,ηt はnormal,しかしξt はnonnormal.
*カルマンフィルタの適用:状態空間モデル [#qa26126c]
SV モデルにはパラメータγ, φ, σ^2η が含まれている.これら...
を次のように表現する.
log R^2t= μ + log σ^2t + ξt (2-1)
log σ^2 t = γ + φ log σ^2t−1 + ηt (2-2)
ここで,μ = E(log ε^2t), ξt = log ε^2t− E(log ε^2t).
γ = 0 としよう。前のSVモデルから μ = −1.270363, σ^2ξ = V...
そこで、未知のパラメータは、φ とλ = V (ηt)/σ^2ξ = σ^2/σ^2...
これらは,次の尤度関数の最大化により求めることができる。
--誤差項{ξt} や{ηt} は正規分布に従わないので,尤度関数は...
yt → log R^2t− μ
βt → log σ2t
と置きかえる。
そうすると、状態空間モデルを得られる。
yt=βt + ξt
βt=φβt-1 + ηt
となる。
-パラメータとλ = V (ηt)/σ^2ξ = σ^2/σ^2ξが推定されていれば...
*一般的モデル [#c8bd0102]
Andersen(1994) は多くのモデルを含む以下のような一般的なモ...
σ^qt = g(Kt), q∈ {1, 2}
Kt = w + βKt−1 + [γ + αKt−1]ut
ただし,˜ut = ut−1 は平均0,分散1 のホワイトノイズ
--GARCH(1,1) モデルを得たいならば,Kt = σ^2t , γ = 0, ut =...
を代入することにより,
σ^2t = w + βσ^2t−1 + ασ^2t−1z^2t−1
とすればよい.
--また,SV モデルを得たいならば,Kt = log σ^2t , α = 0, γ˜u...
log σ^2t+1 = ω + φ log σ^2t + ηt+1
ここで, 撹乱項ηt はホワイトノイズ
とすればよい.
*参考 [#w2a713f5]
-[[時変ベータ(モデリング方法の比較):A Comparison of Alt...
----カルマンフィルターによる方法が一番良い結果であった。
--Using weekly data over the period 1987-2005, three di...
likelihood technique.
-[[SVモデルとカルマンフィルタ>http://www.econ.hit-u.ac.jp...
-[[Stock Option Pricing Using Bayes Filters>http://liaoli...
-[[確率的ボラティリティモデル>http://www.biwako.shiga-u.a...
-[[確率的ボラティリティ変動モデル:分析法とモデルの発展>h...
-[[日経225のインプライド・ボラティリティ:計算方法>htt...
終了行:
*確率的ボラティリティ モデル [#t525c401]
資産価格の収益率の時系列を確率過程としてモデル化し、その...
-Taylor(1986) は,ARCH(Autoregressive Conditional Heteros...
-Hull and White(1987) は直接,原資産が連続時間SV モデルに...
--ボラティリティが一定であるという仮定は現実の金融市場の...
-オプションの価格付けは,ボラティリティの理論と密接な関係...
インプライドボラティリティはオプション価格の市場情報から...
-標準的な資産価格の確率過程
dSt = μS Stdt + σS StdWt
Wt は標準ブラウン運動
瞬間的なボラティリティσS
--μS とσSが全ての時点t に関して一定であるとは限らない。現...
--μS(It) とσS(It) が全ての時点t に関して一定であるとき, ...
*離散時間モデル:SVモデル [#s3d60e40]
Rt =(St − St−1)/St−1 とし,離散時間の次のSV式を考える.
Rt = σt εt
log σ^2t = γ + φ log σ^2t-1 + ηt
ここで,{εt} ∼ NID(0, 1), {ηt} ∼ NID(0, σ^2η)で互いに独立
--ここで,{εt} と{ηt} は互いに独立な正規分布.したがって...
--SV モデルはTaylor モデルとも呼ばれる
--いま,簡単化のためにE(Rt) = 0 としている.
-ファットテールを捉えるには次の2 つの方法がある. (a) ホワ...
*SV モデルの推定 [#q9afae63]
SV モデルにはパラメータγ, φ, σ^2η が含まれている.これら...
を次のように表現する.
log R^2t= μ + log σ^2t + ξt (2-1)
log σ^2 t = γ + φ log σ^2t−1 + ηt (2-2)
ここで,μ = E(log ε^2t), ξt = log ε^2t− E(log ε^2t).
-パラメータμ は次のように正確に計算可能.
まず,ε^2tが自由度1 のχ^2 分布に従うことから,ε^2t= W と...
m(θ) = E(eθ logW) = E(Wθ)
を計算して
#ref(SVequation1.JPG)
となる.したがって,
#ref(SVequation2.JPG)
またσ^2ε は
#ref(SVequation3.JPG)
--SVモデルの尤度関数はARCH型モデルの尤度関数のように簡単...
法は困難である.そこで,尤度に基づかない推定方法が提案さ...
estimation;QMLE) がある。
--またベイズ推定で定式化した時変カルマンフィルタモデルも...
*SVモデルの性質 [#c5a2c7c8]
(a) 収益率{Rt} の条件付き分布はnonnormal
(b) 厳密な尤度関数を導出することは不可能
(c) log R^2tはARMA(1,1) モデル
log R^2t= φ log R^2 t−1 + μ(1 − φ) + γ + ηt + ξt − φξt−1
に従う.
ここで,ηt はnormal,しかしξt はnonnormal.
*カルマンフィルタの適用:状態空間モデル [#qa26126c]
SV モデルにはパラメータγ, φ, σ^2η が含まれている.これら...
を次のように表現する.
log R^2t= μ + log σ^2t + ξt (2-1)
log σ^2 t = γ + φ log σ^2t−1 + ηt (2-2)
ここで,μ = E(log ε^2t), ξt = log ε^2t− E(log ε^2t).
γ = 0 としよう。前のSVモデルから μ = −1.270363, σ^2ξ = V...
そこで、未知のパラメータは、φ とλ = V (ηt)/σ^2ξ = σ^2/σ^2...
これらは,次の尤度関数の最大化により求めることができる。
--誤差項{ξt} や{ηt} は正規分布に従わないので,尤度関数は...
yt → log R^2t− μ
βt → log σ2t
と置きかえる。
そうすると、状態空間モデルを得られる。
yt=βt + ξt
βt=φβt-1 + ηt
となる。
-パラメータとλ = V (ηt)/σ^2ξ = σ^2/σ^2ξが推定されていれば...
*一般的モデル [#c8bd0102]
Andersen(1994) は多くのモデルを含む以下のような一般的なモ...
σ^qt = g(Kt), q∈ {1, 2}
Kt = w + βKt−1 + [γ + αKt−1]ut
ただし,˜ut = ut−1 は平均0,分散1 のホワイトノイズ
--GARCH(1,1) モデルを得たいならば,Kt = σ^2t , γ = 0, ut =...
を代入することにより,
σ^2t = w + βσ^2t−1 + ασ^2t−1z^2t−1
とすればよい.
--また,SV モデルを得たいならば,Kt = log σ^2t , α = 0, γ˜u...
log σ^2t+1 = ω + φ log σ^2t + ηt+1
ここで, 撹乱項ηt はホワイトノイズ
とすればよい.
*参考 [#w2a713f5]
-[[時変ベータ(モデリング方法の比較):A Comparison of Alt...
----カルマンフィルターによる方法が一番良い結果であった。
--Using weekly data over the period 1987-2005, three di...
likelihood technique.
-[[SVモデルとカルマンフィルタ>http://www.econ.hit-u.ac.jp...
-[[Stock Option Pricing Using Bayes Filters>http://liaoli...
-[[確率的ボラティリティモデル>http://www.biwako.shiga-u.a...
-[[確率的ボラティリティ変動モデル:分析法とモデルの発展>h...
-[[日経225のインプライド・ボラティリティ:計算方法>htt...
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