線形差分方程式
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*線形差分方程式とは [#o366ec14]
線形の漸化式で表わされる方程式である。
xt=a1xt-1+a2xt-2+....+anxt-n
初期値を与えれば、数列がその解として求められる。
Xt+2=3xt+1-2xt
の場合、x1=1,x2=0からスタートすれば
{1,0,-2,-6,-14,-30,....}
の数列は、上の差分方程式から得られる。また、初期値を変え...
{1,1,1,1,1,....}
{2,4,8,16,32,....}
この数列のn番目の値xnを表わす式を求めることを、一般解を求...
-数列{xt},{yt}に対して、下記のように和とスカラー積の2つ...
{xt}+{yt}={xt+yt}
α{xt}={αXt}
-線形差分方程式の解全体は、 数列全体 の線形部分空間となる.
*解の系列の特徴と一般解 [#j5025673]
上記の差分方程式の次の3つの解の数列x1、x2、x3はどのよう...
X1={1,1,1,1,1,....}
X2={2,4,8,16,32,....}
X3={1,0,-2,-6,-14,-30,....}
最初の解の数列はt番目の項が1^t=1となっており、2番目の...
さらに、3番目の数列は、前の2つの数列の線形和の形になって...
X3=2・x1+(-1/2)x2={1,0,-2,-6.-14,-30,....}
このように、上記の差分方程式の解は、一般に
X=c1X1+c2X2=c11^t+c22^t
C1,c2は初期値によって異なる。
で表わされそうである。これが、差分方程式の解が線形部分空...
それでは、このことを一般的に成立するか調べてみよう。
*シフトオペレーター:シフト作用素 [#e9f56170]
複素数の無限数列の集合をVとして、その要素のX={x1,x2,x3,....
EX={x2,x3,....}
を与える作用素である。この作用素は、VからVへの写像を与え...
i回繰り返してシフトする作用素を E^i (iは整数)で表わす...
この作用素の線形結合で表わされる下記の作用素Lを、''線形差...
何故、線形作用素と呼ぶかといえば、前記の和とスカラー積の...
L(E)=c0E^0+c1E^1+ ....+E^m
これは、m次差分方程式の作用素である。L(E)
線形差分方程式で表わされる数列Xは、作用素表示すれば、
L(E)x=0 <--->c0E^0x+c1E^1x+ ....+E^mx=0
で表わされる。
また、λの多項式 P(λ)
P(λ)=c0λ+c1λ^1+ ....+λ^m
のλに作用素Eを代入した形になっている。
-''この多項式を特性多項式と呼ぶ''。
--先のXt+2=3xt+1-2xtの特性多項式を示せ。
(答え):P(λ)=λ^2-3λ+2
LX=(E^2-3E+2)(x)=E^2x-3E^1x+2E^0=0
XはXt+2-3xt+1+2xt=0の漸化式で表わされる数を要素にもつ数列
*特性多項式=0の解の性質 [#l0db7aee]
''定理;特性多項式p(λ)=0の解をλ*とするとき、数列X*={λ*,λ...
-''言い換えれば、差分方程式の一般解は次のように表わされる...
yt=c1λ1^t+c2λ2^t+... +cmλm^t
そして、係数は初期条件を満たす条件からに唯一解が得られる。
-証明:m次の特性多項式の解がλ1,λ2,...λmであったとすれば、
p(λ)=定数・(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λm)
の形で表わされる。そこでp(E)x=0は書き換えれば
(E-λ1)(E-λ2)...(E-λm)X=0
が成り立つことを証明すればよい。
Ex*=E{λ*,λ*^2,λ*^3,....}={λ*^2,λ*^3,....}=λ*{λ*,λ*^2,...
が成立するので
(E-λ*)X*=0
である。よって特性多項式の解λ*からなる数列X*は、p(E)X*=0...
--特性多項式のm個の根が相異なっていれば、根の数列X*={λ*,...
|1 1 1 |
|a b c | =(a-b)(b-c)(c-a)
|a^2 b^2 c^2|
--漸化式から数列を求めることもできるが、要点は漸化式(線...
*多項式が重根を持つ時の一般解 [#qb6ab3fc]
定理:特性多項式がP(λ)=0が重根λを持ち、重複度がkとする。...
下記の数列はp(E)X=0を満たす。
x(λ)={λ,λ^2,λ^3,....}
x'(λ)={1,2λ,3λ^2,4λ^3....}
X''(λ)={0,2,6λ,12^2,...}
-分かりやすく書けば、λ = λ0 がk 重解の場合(2 ≤ k ≤ N)、数...
yt=c0λ0^t+c1tλ0^t+c2t^2λ0^t+...+ck-1t^(k-1)λ0^(k-1)
の形で一般解が与えられ、係数c0,...,ck-1は、初期条件で唯一...
*差分方程式の初期値と一般解 [#l2e10744]
差分方程式の一般解は、初期値を与えれば、特性多項式の解の...
*2次の差分方程式の一般解 [#l8047c63]
2階の線形差分方程式 xn+2-axn+1-bxn=0は特性方程式の2解を...
-α≠βのとき
xn=A1*α^n+A2*β^n (1)
-重解のとき、
xn=A1*α^n+A2*n*α^n (2)
-初期値が与えられれば、A1、A2の係数が定まる。
--例題:フィボナッチ数列の一般解を求めよ。黄金数が現れま...
*安定な差分方程式とは [#t38678d7]
差分方程式p(E)x = 0 が安定(stable) であるとは, すべての解...
ること.
-定理:''安定であることと、「特性多項式のすべての解は|z| ...
--例題1:次の差分方程式は安定かどうか調べよ. 4xn + 7xn-...
--例題2:差分方程式xn = xn-1 + xn-2 は安定か?
*差分方程式の行列・ベクトル表現:状態空間モデル [#rb019a18]
最初に出た差分方程式を行列表示してみましょう。
yt+2=3yt+1-2yt
初期値:y1=1,y2=0
は、下記のように表わされる。
|Xt+2|=|3 -2| |xt+1|
|Xt+1| |1 0| |xt|
そこで、A行列を
A=|3 -2|
|1 0|
として、Z=(z1,z2)'ベクトルとおいて
Zt+1=A zt
yt==|1 0| zt
初期値:Z1=(0,1)'
で表わされる。これを状態空間モデルという。
*固有値・固有ベクトルと特性多項式 [#tdf4dbff]
マトリックスAの固有値λと対応する固有ベクトルZは
AZ=λZ <-->(A-λE)Z=0 0:零ベクトル
で定義される。これは同次の連立1次方程式と考えられる。ここ...
det|A-λE|=0
である。これを固有多項式と呼ぶ。
この場合は
det|A-λE|=(3-λ)(-λ)-(-2)(1)=λ^2-3λ+2=0
である。この根である固有値は+1と+2であることが判る。
--''固有多項式と前に書いた特性多項式は同じである。''
固有値+1の固有ベクトルは
A-λE=A-E=|2 -2|
|1 -1|
より、(A-λE)Z=0 を満たす固有ベクトルとして(1,1)'が求めら...
固有値+2の固有ベクトルは
A-λE=A-2E=|1 -2|
|1 -2|
より、(A-λE)Z=0 を満たす固有ベクトルとして(1,1/2)'が求め...
これら固有ベクトルを列にもつ次の行列を定義する。
T=|1 1|
|1 1/2|
*対角化による一般解の求め方 [#kf1e6a01]
固有値が異なっている場合はTが正則となるのでTの逆行列が存...
--証明:行列A の固有値α1, ... , αr が互いに異なり、αi に...
ひとつ選んでそれをvi であるとする。(i = 1, ..., r)この...
は線形独立である。すなわちTは正則である。
背理法を用いる。v1, ..., vr のうち最初のi¡1 個v1, ... , v...
が線形独立で、v1, ... , vi が線形従属であると仮定して矛盾...
a1v1 + ... + aivr = o (1)
となるようなa1, ... , ai で、どれかひとつは0 でないような...
この式の両辺にA をかけると、
A(a1v1 + ... + aivi) = o
v1, ... は固有ベクトルであるから、
a1α1v1 + ... + aiαivi = o (2)
である。(1)xαi-(2) を計算すると
a1(αi - α1)v1 + ... + ai−1(αi - αi−1)vi−1 = o
となる。v1, ... , vi−1 が線形独立であることから
a1(αi - α1) = ... = ai−1(αi - αi−1) = 0
今、α1, ... , αr が互いに異なることより、
a1 = ... = ai−1 = 0
である。この式を(1) に代入すると、ai = 0 を得る。しかし、...
れかひとつは0 でないと言っていたので、これは矛盾である。(...
固有値が異なっている場合、これを用いれば、AT=ΛT(Λは固有値...
(T~AT)(T~AT)....(T~AT) = T~(A^n)T =Λ^n
であるので
A^n=T(Λ^n)T~
のように、A^nもTを使って計算できる。この式からyt+1の一般...
yt+1=(1,0)A^(t)z1=(1,0)T(Λ^t)T~z1
となるので、 固有値λ1とλ2を使って
yt+1=c1(λ1)^n + c2(λ2)^n
c1,c2は定数
のように表わされることになる。
c1,c2は初期条件y1=1,y2=0を与えてれば求めることができる。
線形漸化式のn期の一般解xt+1=A^(t)x1は、λ1=1のn乗とλ2=2のn...
-- ''行列式の固有ベクトルを用いた対角化による解法も、先に...
*固有方程式が重解をもつ場合 [#z2e07205]
実は、固有方程式がm重解をもつ場合であっても、固有値に対応...
-対角化可能な必要十分条件は、n次元A行列がn個の独立な固有...
-定理:n 次正方行列A が対角化可能であるための必要十分条件...
-行列 A が実対称の場合、固有方程式は永年方程式とも言われ...
-n の値が大きければ固有値問題は数値的対角化手法(ヤコビ法...
*重ね合わせの原理 [#e37e1c65]
入力utを持つ線形差分方程式を考えてみよう。
xt=a1xt-1+a2xt-2+....+anxt-n +ut
入力系列の数列をu={u1,u2,...}とすれば、解の数列xは、線形...
L(E)x=u
で表わされる。
このことから、
-''2つの入力列u,vについてL(E)x=uの解をX1、L(E)x=vの解をX...
L(E)(x1+x2)=L(E)x1+L(E)x2=u+V
-線形差分方程式においては、入力{ut}の出力を{x1t}、入力{vt...
--この重ね合わせの原理から、 L(E)X=u の一般解を求める...
終了行:
*線形差分方程式とは [#o366ec14]
線形の漸化式で表わされる方程式である。
xt=a1xt-1+a2xt-2+....+anxt-n
初期値を与えれば、数列がその解として求められる。
Xt+2=3xt+1-2xt
の場合、x1=1,x2=0からスタートすれば
{1,0,-2,-6,-14,-30,....}
の数列は、上の差分方程式から得られる。また、初期値を変え...
{1,1,1,1,1,....}
{2,4,8,16,32,....}
この数列のn番目の値xnを表わす式を求めることを、一般解を求...
-数列{xt},{yt}に対して、下記のように和とスカラー積の2つ...
{xt}+{yt}={xt+yt}
α{xt}={αXt}
-線形差分方程式の解全体は、 数列全体 の線形部分空間となる.
*解の系列の特徴と一般解 [#j5025673]
上記の差分方程式の次の3つの解の数列x1、x2、x3はどのよう...
X1={1,1,1,1,1,....}
X2={2,4,8,16,32,....}
X3={1,0,-2,-6,-14,-30,....}
最初の解の数列はt番目の項が1^t=1となっており、2番目の...
さらに、3番目の数列は、前の2つの数列の線形和の形になって...
X3=2・x1+(-1/2)x2={1,0,-2,-6.-14,-30,....}
このように、上記の差分方程式の解は、一般に
X=c1X1+c2X2=c11^t+c22^t
C1,c2は初期値によって異なる。
で表わされそうである。これが、差分方程式の解が線形部分空...
それでは、このことを一般的に成立するか調べてみよう。
*シフトオペレーター:シフト作用素 [#e9f56170]
複素数の無限数列の集合をVとして、その要素のX={x1,x2,x3,....
EX={x2,x3,....}
を与える作用素である。この作用素は、VからVへの写像を与え...
i回繰り返してシフトする作用素を E^i (iは整数)で表わす...
この作用素の線形結合で表わされる下記の作用素Lを、''線形差...
何故、線形作用素と呼ぶかといえば、前記の和とスカラー積の...
L(E)=c0E^0+c1E^1+ ....+E^m
これは、m次差分方程式の作用素である。L(E)
線形差分方程式で表わされる数列Xは、作用素表示すれば、
L(E)x=0 <--->c0E^0x+c1E^1x+ ....+E^mx=0
で表わされる。
また、λの多項式 P(λ)
P(λ)=c0λ+c1λ^1+ ....+λ^m
のλに作用素Eを代入した形になっている。
-''この多項式を特性多項式と呼ぶ''。
--先のXt+2=3xt+1-2xtの特性多項式を示せ。
(答え):P(λ)=λ^2-3λ+2
LX=(E^2-3E+2)(x)=E^2x-3E^1x+2E^0=0
XはXt+2-3xt+1+2xt=0の漸化式で表わされる数を要素にもつ数列
*特性多項式=0の解の性質 [#l0db7aee]
''定理;特性多項式p(λ)=0の解をλ*とするとき、数列X*={λ*,λ...
-''言い換えれば、差分方程式の一般解は次のように表わされる...
yt=c1λ1^t+c2λ2^t+... +cmλm^t
そして、係数は初期条件を満たす条件からに唯一解が得られる。
-証明:m次の特性多項式の解がλ1,λ2,...λmであったとすれば、
p(λ)=定数・(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λm)
の形で表わされる。そこでp(E)x=0は書き換えれば
(E-λ1)(E-λ2)...(E-λm)X=0
が成り立つことを証明すればよい。
Ex*=E{λ*,λ*^2,λ*^3,....}={λ*^2,λ*^3,....}=λ*{λ*,λ*^2,...
が成立するので
(E-λ*)X*=0
である。よって特性多項式の解λ*からなる数列X*は、p(E)X*=0...
--特性多項式のm個の根が相異なっていれば、根の数列X*={λ*,...
|1 1 1 |
|a b c | =(a-b)(b-c)(c-a)
|a^2 b^2 c^2|
--漸化式から数列を求めることもできるが、要点は漸化式(線...
*多項式が重根を持つ時の一般解 [#qb6ab3fc]
定理:特性多項式がP(λ)=0が重根λを持ち、重複度がkとする。...
下記の数列はp(E)X=0を満たす。
x(λ)={λ,λ^2,λ^3,....}
x'(λ)={1,2λ,3λ^2,4λ^3....}
X''(λ)={0,2,6λ,12^2,...}
-分かりやすく書けば、λ = λ0 がk 重解の場合(2 ≤ k ≤ N)、数...
yt=c0λ0^t+c1tλ0^t+c2t^2λ0^t+...+ck-1t^(k-1)λ0^(k-1)
の形で一般解が与えられ、係数c0,...,ck-1は、初期条件で唯一...
*差分方程式の初期値と一般解 [#l2e10744]
差分方程式の一般解は、初期値を与えれば、特性多項式の解の...
*2次の差分方程式の一般解 [#l8047c63]
2階の線形差分方程式 xn+2-axn+1-bxn=0は特性方程式の2解を...
-α≠βのとき
xn=A1*α^n+A2*β^n (1)
-重解のとき、
xn=A1*α^n+A2*n*α^n (2)
-初期値が与えられれば、A1、A2の係数が定まる。
--例題:フィボナッチ数列の一般解を求めよ。黄金数が現れま...
*安定な差分方程式とは [#t38678d7]
差分方程式p(E)x = 0 が安定(stable) であるとは, すべての解...
ること.
-定理:''安定であることと、「特性多項式のすべての解は|z| ...
--例題1:次の差分方程式は安定かどうか調べよ. 4xn + 7xn-...
--例題2:差分方程式xn = xn-1 + xn-2 は安定か?
*差分方程式の行列・ベクトル表現:状態空間モデル [#rb019a18]
最初に出た差分方程式を行列表示してみましょう。
yt+2=3yt+1-2yt
初期値:y1=1,y2=0
は、下記のように表わされる。
|Xt+2|=|3 -2| |xt+1|
|Xt+1| |1 0| |xt|
そこで、A行列を
A=|3 -2|
|1 0|
として、Z=(z1,z2)'ベクトルとおいて
Zt+1=A zt
yt==|1 0| zt
初期値:Z1=(0,1)'
で表わされる。これを状態空間モデルという。
*固有値・固有ベクトルと特性多項式 [#tdf4dbff]
マトリックスAの固有値λと対応する固有ベクトルZは
AZ=λZ <-->(A-λE)Z=0 0:零ベクトル
で定義される。これは同次の連立1次方程式と考えられる。ここ...
det|A-λE|=0
である。これを固有多項式と呼ぶ。
この場合は
det|A-λE|=(3-λ)(-λ)-(-2)(1)=λ^2-3λ+2=0
である。この根である固有値は+1と+2であることが判る。
--''固有多項式と前に書いた特性多項式は同じである。''
固有値+1の固有ベクトルは
A-λE=A-E=|2 -2|
|1 -1|
より、(A-λE)Z=0 を満たす固有ベクトルとして(1,1)'が求めら...
固有値+2の固有ベクトルは
A-λE=A-2E=|1 -2|
|1 -2|
より、(A-λE)Z=0 を満たす固有ベクトルとして(1,1/2)'が求め...
これら固有ベクトルを列にもつ次の行列を定義する。
T=|1 1|
|1 1/2|
*対角化による一般解の求め方 [#kf1e6a01]
固有値が異なっている場合はTが正則となるのでTの逆行列が存...
--証明:行列A の固有値α1, ... , αr が互いに異なり、αi に...
ひとつ選んでそれをvi であるとする。(i = 1, ..., r)この...
は線形独立である。すなわちTは正則である。
背理法を用いる。v1, ..., vr のうち最初のi¡1 個v1, ... , v...
が線形独立で、v1, ... , vi が線形従属であると仮定して矛盾...
a1v1 + ... + aivr = o (1)
となるようなa1, ... , ai で、どれかひとつは0 でないような...
この式の両辺にA をかけると、
A(a1v1 + ... + aivi) = o
v1, ... は固有ベクトルであるから、
a1α1v1 + ... + aiαivi = o (2)
である。(1)xαi-(2) を計算すると
a1(αi - α1)v1 + ... + ai−1(αi - αi−1)vi−1 = o
となる。v1, ... , vi−1 が線形独立であることから
a1(αi - α1) = ... = ai−1(αi - αi−1) = 0
今、α1, ... , αr が互いに異なることより、
a1 = ... = ai−1 = 0
である。この式を(1) に代入すると、ai = 0 を得る。しかし、...
れかひとつは0 でないと言っていたので、これは矛盾である。(...
固有値が異なっている場合、これを用いれば、AT=ΛT(Λは固有値...
(T~AT)(T~AT)....(T~AT) = T~(A^n)T =Λ^n
であるので
A^n=T(Λ^n)T~
のように、A^nもTを使って計算できる。この式からyt+1の一般...
yt+1=(1,0)A^(t)z1=(1,0)T(Λ^t)T~z1
となるので、 固有値λ1とλ2を使って
yt+1=c1(λ1)^n + c2(λ2)^n
c1,c2は定数
のように表わされることになる。
c1,c2は初期条件y1=1,y2=0を与えてれば求めることができる。
線形漸化式のn期の一般解xt+1=A^(t)x1は、λ1=1のn乗とλ2=2のn...
-- ''行列式の固有ベクトルを用いた対角化による解法も、先に...
*固有方程式が重解をもつ場合 [#z2e07205]
実は、固有方程式がm重解をもつ場合であっても、固有値に対応...
-対角化可能な必要十分条件は、n次元A行列がn個の独立な固有...
-定理:n 次正方行列A が対角化可能であるための必要十分条件...
-行列 A が実対称の場合、固有方程式は永年方程式とも言われ...
-n の値が大きければ固有値問題は数値的対角化手法(ヤコビ法...
*重ね合わせの原理 [#e37e1c65]
入力utを持つ線形差分方程式を考えてみよう。
xt=a1xt-1+a2xt-2+....+anxt-n +ut
入力系列の数列をu={u1,u2,...}とすれば、解の数列xは、線形...
L(E)x=u
で表わされる。
このことから、
-''2つの入力列u,vについてL(E)x=uの解をX1、L(E)x=vの解をX...
L(E)(x1+x2)=L(E)x1+L(E)x2=u+V
-線形差分方程式においては、入力{ut}の出力を{x1t}、入力{vt...
--この重ね合わせの原理から、 L(E)X=u の一般解を求める...
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