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開始行:
*需要と収益最大化 [#k6128a98]
-1)需要曲線(需要量x個と価格p円/個の関係式)がP=ax+b(a<...
-2)ある製品を製造するのに固定費として4,000,000円、変動費...
---参考
P=a*x+b :需要xと価格pの関係式とする
総費用Cは、固定費Cfと変動費の合計
C=Cf+α*x 但し,αは1個当たり変動費(一定)
この場合 収入=p*x で 総費用が上式なので、
利益Rを、需要量xの関数で表現する
R=P*x- (Cf+α*x)
=(P-α)*x - Cf
=(a*x+b-α)*x - Cf
利益を最大にする需要量は、dR/dX=0 となるXであるので
dR/dX=0となるXを求めればよい。
*収益率の問題 [#ke3c3202]
-1)案件Aは100億円投資して、その後毎年20,20,20,52億円のフ...
-2)当初P円の資本投下をして、n年間で回収を終了するためには...
-3)案件Aの内部収益率をニュートン法の漸化式で示し、計算せ...
---参考
1)割引率をr=0.05とすると、現在価値PVはそれぞれ
Pva=-100+20(1+R)^(-1)+20(1+r)^(-2)+20(1+r)^(-3)+52(1+r)^...
Pva=-100+3(1+R)^(-1)+3(1+r)^(-2)+3(1+r)^(-3)+3(1+r)^(-4)...
これを比較すればよい。
2)は、資本回収率の問題であり、http://tokyox.matrix.jp/...
毎期末に定額M円を回収する場合のキャッシュフローの終価が...
n年運用した場合のn年後の元利合計額と一致するとの等式から...
3)ニュートン法の漸化式は次式である。
f(r)==-100+20(1+R)^(-1)+20(1+r)^(-2)+20(1+r)^(-3)+52(1+r...
を解くには、f(r)/f'(r)を事前に計算して,初期値をr0=?(解...
r1=r0-f(r0)/f'(r0)
r2=r1-f(r1)/f'(r1)など数回繰り返して、近似解を求める。
*最小二乗法 [#ydad6e3f]
いま、観測してデータが(x1,y1),(x2,y2),・・・,(xn,Yn)を得...
ei=yi-(axi+b) i = 1, ..., n
で表わされる。
-1)誤差の平方和を最少にするように、a,bの係数を求めよ。
-2)この一次方程式を、標本平均μx、μy、標準偏差σx、σy、共分...
-3) ∑ei^2と∑yi^2と∑(yi*)^2の間に、どのような関係式がある...
このwikiの、平均、分散、相関係数、ピタゴラスの定理、最小...
*収益率の平均と分散 [#r70acf7d]
正5角形のサイコロを2回投げるとする。1から5の目があり、...
-1)1回の試行の収益率の期待値と分散を求めよ。
-2)掛け金は1万円であり、開始前に1回目と2回目の掛け金をそ...
-3)分散を最小にするには、どのような割合wで掛ければ良いか...
---参考
1)サイコロの目の値x(1から5)の出る確率は1/5なので、
1回の試行の収益率の期待値E(R)は
E(R)=Σ(1/5)(0.1X)=(1/5)(0.1+0.2+0.3+0.4+0.5)=?
V(R)=Σ(0.1x-E(R))^2=Σ(0.1x)^2-E(R)^2=? を計算すればよ...
2)1回目の収益率R1と2回目の収益率R2とすれば、総収益率Rx...
独立な同一の試行なので、各回の収益率E(R1)=E(R2)=E(R)
総収益率の期待値は、E(Rx)=wE(R1)+(1-w)E(R2)=E(R)となる。
分散は、V(Rx)を同様に計算すればよい。独立なので共分散は...
*最小分散ポートフォリオ [#gf5df364]
n個の資産が市場に存在し、それらの収益率の期待値をE(ri),i=...
-1) ポートフォリオの分散はV(rp)=E[(rp-E(rp)^2] で定義さ...
-2) 3つの互いに無相関な資産のポートフォリオの最小分散点...
-3) 3つの互いに無相関な資産の効率的フロンティアを表す式...
-4)同じく、この効率的フロンティアを図示せよ。(横軸をσ^2...
---参考
1)は分散のページを参考に。ポートフォリオの分散は、確率変...
2)は1)を使って、ラグランジェの未定乗数法で解く。
まず、全ての分散が1なのでσ1^2=σ2^2=σ3^2=1 、
かつ無相関なのでσ12=σ23=σ13=0
このwikiの最小分散ポートフォリオを参考に解く。
最小化すべき目的関数J(w1,w2,----,wn)は、
J=(1/2)ΣΣwiwjσij --->Min
制約条件は
Σwi・E(ri)=E(r)
Σwi=1
分散項に1/2を付けた理由は、最後に得られる式をきれいにす...
ラグランジュ乗数 λとμを用いて、ラグランジアン L を次...
J=(1/2)ΣΣwiwjσij + λ[Σwi・E(ri)-E(r)] + μ(Σwi-1)
最小化の必要条件は、重みwi,i=1,n とλとμ について、極値...
1回微分を行うと次式を得る
Σwjσij+λE(ri)+μ=0 i=1~n
全ての分散が1かつ無相関なので
w1+λ+μ=0
w2+2λ+μ=0
w3+3λ+μ=0
w1+w2+w3=1
w1+2w2+3w3=E(r)
上の3つの式をもとにwiを求め、下の2つの式に代入
-6λ-3μ=1
-14λ-6μ=E(r)
これら2式より、λ=-E(r)/2+1、μ=-7/3+E(r)
これをwiに代入するとw1がE(r)で表わせる。
解の標準偏差は、全ての分散1より、σ=SQRT(w1^2+w2^2+W3^2)...
σをE(r)で表わせる。
最小分散点は、σ-E(r)平面上の対称性からE(r)=?、σ=?とな...
4)は、E(r)を変えた時、最小分散値を与える点の実現可能集合...
上半分を効率的フロンティアと呼ぶことから横軸にσ縦軸にE(r...
*無リスク資産と効率的ファンド [#oe467294]
3つの互いに無相関な資産がある。どの資産も分散は1であり...
-1).効率的ファンドを表す接点を与える重みw1,w2,w3を求めよ。
-2).無リスク資産とこの接点を結ぶ直線(ファンドと無リス...
---参考
無リスク資産とリスク資産のポートフォリオを結ぶ直線の傾き...
β=[E(r)-rf]/σ
このβを最大とする点を求めればよい。
β=[Σwi(E(ri)-rf)/SQRT[ΣΣσijwiwj]
と書き換えられる。
上記の問題では、wiを定数倍しても、βは変わらない。そこでΣ...
ここでβを各wiで微分して、それを0とする。
Σσkjλwi=E(rk)-rf k=1~n
ここでvi=λwiとおくと
Σσkjvi=E(rk)-rf k=1~n
この方程式を解いてviを求めて、それを正規化すればwiが求め...
この問題では
E(r1)=1、E(r2)=2、E(r3)=3、rf=0.5
共分散のすべてが0なので、簡単になる。
v1=1-0.5
V2=2-0.5
V3=3-0.5
合計が1になるように正規化すれば
w1=1/9
W2=1/3
w3=5/9
終了行:
*需要と収益最大化 [#k6128a98]
-1)需要曲線(需要量x個と価格p円/個の関係式)がP=ax+b(a<...
-2)ある製品を製造するのに固定費として4,000,000円、変動費...
---参考
P=a*x+b :需要xと価格pの関係式とする
総費用Cは、固定費Cfと変動費の合計
C=Cf+α*x 但し,αは1個当たり変動費(一定)
この場合 収入=p*x で 総費用が上式なので、
利益Rを、需要量xの関数で表現する
R=P*x- (Cf+α*x)
=(P-α)*x - Cf
=(a*x+b-α)*x - Cf
利益を最大にする需要量は、dR/dX=0 となるXであるので
dR/dX=0となるXを求めればよい。
*収益率の問題 [#ke3c3202]
-1)案件Aは100億円投資して、その後毎年20,20,20,52億円のフ...
-2)当初P円の資本投下をして、n年間で回収を終了するためには...
-3)案件Aの内部収益率をニュートン法の漸化式で示し、計算せ...
---参考
1)割引率をr=0.05とすると、現在価値PVはそれぞれ
Pva=-100+20(1+R)^(-1)+20(1+r)^(-2)+20(1+r)^(-3)+52(1+r)^...
Pva=-100+3(1+R)^(-1)+3(1+r)^(-2)+3(1+r)^(-3)+3(1+r)^(-4)...
これを比較すればよい。
2)は、資本回収率の問題であり、http://tokyox.matrix.jp/...
毎期末に定額M円を回収する場合のキャッシュフローの終価が...
n年運用した場合のn年後の元利合計額と一致するとの等式から...
3)ニュートン法の漸化式は次式である。
f(r)==-100+20(1+R)^(-1)+20(1+r)^(-2)+20(1+r)^(-3)+52(1+r...
を解くには、f(r)/f'(r)を事前に計算して,初期値をr0=?(解...
r1=r0-f(r0)/f'(r0)
r2=r1-f(r1)/f'(r1)など数回繰り返して、近似解を求める。
*最小二乗法 [#ydad6e3f]
いま、観測してデータが(x1,y1),(x2,y2),・・・,(xn,Yn)を得...
ei=yi-(axi+b) i = 1, ..., n
で表わされる。
-1)誤差の平方和を最少にするように、a,bの係数を求めよ。
-2)この一次方程式を、標本平均μx、μy、標準偏差σx、σy、共分...
-3) ∑ei^2と∑yi^2と∑(yi*)^2の間に、どのような関係式がある...
このwikiの、平均、分散、相関係数、ピタゴラスの定理、最小...
*収益率の平均と分散 [#r70acf7d]
正5角形のサイコロを2回投げるとする。1から5の目があり、...
-1)1回の試行の収益率の期待値と分散を求めよ。
-2)掛け金は1万円であり、開始前に1回目と2回目の掛け金をそ...
-3)分散を最小にするには、どのような割合wで掛ければ良いか...
---参考
1)サイコロの目の値x(1から5)の出る確率は1/5なので、
1回の試行の収益率の期待値E(R)は
E(R)=Σ(1/5)(0.1X)=(1/5)(0.1+0.2+0.3+0.4+0.5)=?
V(R)=Σ(0.1x-E(R))^2=Σ(0.1x)^2-E(R)^2=? を計算すればよ...
2)1回目の収益率R1と2回目の収益率R2とすれば、総収益率Rx...
独立な同一の試行なので、各回の収益率E(R1)=E(R2)=E(R)
総収益率の期待値は、E(Rx)=wE(R1)+(1-w)E(R2)=E(R)となる。
分散は、V(Rx)を同様に計算すればよい。独立なので共分散は...
*最小分散ポートフォリオ [#gf5df364]
n個の資産が市場に存在し、それらの収益率の期待値をE(ri),i=...
-1) ポートフォリオの分散はV(rp)=E[(rp-E(rp)^2] で定義さ...
-2) 3つの互いに無相関な資産のポートフォリオの最小分散点...
-3) 3つの互いに無相関な資産の効率的フロンティアを表す式...
-4)同じく、この効率的フロンティアを図示せよ。(横軸をσ^2...
---参考
1)は分散のページを参考に。ポートフォリオの分散は、確率変...
2)は1)を使って、ラグランジェの未定乗数法で解く。
まず、全ての分散が1なのでσ1^2=σ2^2=σ3^2=1 、
かつ無相関なのでσ12=σ23=σ13=0
このwikiの最小分散ポートフォリオを参考に解く。
最小化すべき目的関数J(w1,w2,----,wn)は、
J=(1/2)ΣΣwiwjσij --->Min
制約条件は
Σwi・E(ri)=E(r)
Σwi=1
分散項に1/2を付けた理由は、最後に得られる式をきれいにす...
ラグランジュ乗数 λとμを用いて、ラグランジアン L を次...
J=(1/2)ΣΣwiwjσij + λ[Σwi・E(ri)-E(r)] + μ(Σwi-1)
最小化の必要条件は、重みwi,i=1,n とλとμ について、極値...
1回微分を行うと次式を得る
Σwjσij+λE(ri)+μ=0 i=1~n
全ての分散が1かつ無相関なので
w1+λ+μ=0
w2+2λ+μ=0
w3+3λ+μ=0
w1+w2+w3=1
w1+2w2+3w3=E(r)
上の3つの式をもとにwiを求め、下の2つの式に代入
-6λ-3μ=1
-14λ-6μ=E(r)
これら2式より、λ=-E(r)/2+1、μ=-7/3+E(r)
これをwiに代入するとw1がE(r)で表わせる。
解の標準偏差は、全ての分散1より、σ=SQRT(w1^2+w2^2+W3^2)...
σをE(r)で表わせる。
最小分散点は、σ-E(r)平面上の対称性からE(r)=?、σ=?とな...
4)は、E(r)を変えた時、最小分散値を与える点の実現可能集合...
上半分を効率的フロンティアと呼ぶことから横軸にσ縦軸にE(r...
*無リスク資産と効率的ファンド [#oe467294]
3つの互いに無相関な資産がある。どの資産も分散は1であり...
-1).効率的ファンドを表す接点を与える重みw1,w2,w3を求めよ。
-2).無リスク資産とこの接点を結ぶ直線(ファンドと無リス...
---参考
無リスク資産とリスク資産のポートフォリオを結ぶ直線の傾き...
β=[E(r)-rf]/σ
このβを最大とする点を求めればよい。
β=[Σwi(E(ri)-rf)/SQRT[ΣΣσijwiwj]
と書き換えられる。
上記の問題では、wiを定数倍しても、βは変わらない。そこでΣ...
ここでβを各wiで微分して、それを0とする。
Σσkjλwi=E(rk)-rf k=1~n
ここでvi=λwiとおくと
Σσkjvi=E(rk)-rf k=1~n
この方程式を解いてviを求めて、それを正規化すればwiが求め...
この問題では
E(r1)=1、E(r2)=2、E(r3)=3、rf=0.5
共分散のすべてが0なので、簡単になる。
v1=1-0.5
V2=2-0.5
V3=3-0.5
合計が1になるように正規化すれば
w1=1/9
W2=1/3
w3=5/9
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