自己回帰移動平均モデル
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*自己回帰移動平均モデルとは:Autoregressive moving averag...
統計学において時系列データに適用されるモデルである。Georg...
-モデルは自己回帰(AR)部分と移動平均(MA)部分からなる。一般...
*ARMA(p, q)の定義 [#m1f52782]
ARMA(p, q)という表記は、p次の自己回帰とq次の移動平均を組...
yt=a1yt-1+a2yt-2+...+apyt-p + b1ut-1+b2ut-2+...+bqut-q
-ただし、誤差項 ut は一般に「独立かつ同一の分布に従う」(i...
-実データに適用する場合、ARMAモデルの p と q を選択後、誤...
-純粋なARモデルでは、これに Yule-Walker 方程式を利用する...
*自己回帰モデルと最小二乗法 [#c1c09723]
AR(p)モデルは次の式で表される。
yt=c+a1yt-1+a2yt-2+...+apqut-p+ut
C:定数項
誤差項utは、σ2の分散をもつホワイトノイズ
-モデルとして定常的であるために、パラメータの値には何らか...
-時系列データが系列相関をもつかか否かの検定方法として、ダ...
*AR(1)の場合 [#u031c94b]
yt=C+ayt-1+ut
-この過程は |a|<1 であれば、共分散定常性を有する。 a=1で...
--期待値は、両辺の期待値をとると
E(yt)=E(C+ayt-1+ut)
=C+aE(yt-1)+E(ut)
=C+aμy
従って
μy=E(yt)=c/(1-a)
となる。c = 0 なら、平均も 0 になる。
--c=0ならば、分散は次のようになる。
Var(yt)=E(yt^2)-μy^2=σ2/(1-a^2)
--c=0ならば、自己共分散は次の式で表される。
V(yt+iyt)=E(yt+iyi)-μy^2=[σ2/(1-a^2)]a^|i|
すなわち、|a|<1なので、i個ずれれば、自己相関が減衰して消...
*パラメータ推定:予測誤差二乗和の最小化:The Yule Walker ...
観測値の自己相関係数は、信号の特徴抽出にも用いられます。...
パラメータの推定方法に、観測値の自己相関係数を用いたYule ...
-自己相関係数の定義
Rk=E(yt-kyt)
-ARMA(p,q)の時系列信号yt の相関関数Rk は、AR パラメータの...
まずARMA(p.q)の式両辺にyt-k をかけると
yt-kyt=a1yt-kyt-1+..+apyt-kyt-p + b1yt-kut-1+..+bqyt-kut-q
さらに、両辺の時間平均をとると
Rk+a1Rk-1+a2Rk-2+...+ apRk-p=b1E(yt-kut-1)+...+bqE(yt-kq...
一方、システムのインパルス応答をhjとすれば
yt=Σhjut-j ΣはJ=0~無限大の和
ut は平均値0、分散σ の白色雑音系列であるので、上の期待値は
Rk+a1Rk-1+a2Rk-2+...+ apRk-p=b1E(yt-kut-1)+...+bqE(yt-kq...
Rk+a1Rk-1+a2Rk-2+...+ apRk-p=0 ...
''kが q+1 以上のときにARMA(p, q) モデルの時系列信号yt の...
kが q+1 以上のときに
Rk+a1Rk-1+a2Rk-2+...+ apRk-p=0
であるので、''この方程式を解けば、自己回帰項のパラメータ...
--移動平均項のない自己回帰モデルの場合は、k>q+1またはK=q...
*自己回帰モデルの係数を求める正規方程式(Yule-Walker 方程...
ytを過去のP 個の観測値yt-1,yt-2,....yt-pの線形結合で表現...
y*t=a1yt-1+a2yt-2+...+apyt-p
このとき、t期までの観測データの予測誤差は、
et=yt-y*t t=0,1,2,...t
で与えられるが、この予測誤差の二乗期待値σ^2は
J=E( et^2)
であたえられる。
J=E{[yt-a1yt-1-a2yt-2-...-apyt-p]^2}
=ΣΣ akaj E(yt-lyt-j) 前のΣはk=0~p,後ろのΣはj=0~pの和
=Σak Σaj Rj-k
--ノイズ関数の値は互いに独立であり、ゼロより大きいj につ...
この予測誤差の二乗和を最小にする係数を求める式がYule-Walk...
a = (1,a1,a2,...ap)
とする(実現値yt に乗じるa0 は1 と考える)。つまり、式をa...
ΣRj-kaj=0 k=1~p Σはj=1~pの合計 式(1)
また、a0 についてはそのまま書き下すと、
σ*^2=ao(a1R1+a2R2+...+apRp)
=a1R1+a2R2+...+apRp=ΣRj 式(2)
が成立する。
なお、一般に、式(1) と式(2) をあわせてYule-Walker 方程式...
*Yule-Walker の方程式の逐次解法 [#k2fe12e3]
逐次解法が存在する。
Levinson アルゴリズムとも呼ばれる。詳細は、下記を参考のこ...
*自己相関係数のパワースペクトラム(フーリエ変換)による計...
自己相関関数Rk とパワースペクトルE(n) = |X(n)|^2 は、フ...
この関係はウィーナーヒンチンの定理とよばれ、
E(n) = F[Rk] :F(・)はフーリエ変換
Rk = F-1[E(n)]:F-1(・)は逆フーリエ変換
と表される。
この関係を用いると、次のように自己相関関数が計算できる。
-1. 測定データ対してFFT を実施し、測定データのスペクトルX...
を求める。
-2. 測定データのパワースペクトル|X(n)|^2 を求める。すな...
Re[ |X(n)|^2 ] = Re[|X(n)|]^2 + Im[|X(n)|] ^2
Im[ |X(n)|^2 ] = 0
を計算する。
-3. 測定データのパワースペクトル|X(n)|^2 (k = 0,1,...) ...
し、測定データの自己相関関数Rk (k = 0,1,...) を求める。
-4. 以下のように自己相関関数の規格化を行う。
Rk = Rk/R0 (k = 0,1,...)
--PSD - MATLABでの説明:Yule-walker 法では、指定した次数...
*参考 [#peaf700f]
-[[ARMAモデルを用いた時系列解析>http://www.madlabo.com/ma...
-[[The Yule Walker Equations for the AR Coefficients.pdf>...
-[[現代時系列解析>http://www.iwanami.co.jp/.PDFS/02/0/022...
-[[Box-Jenkins によるモデル・ビルディングの方法.pdf>http:...
-[[時系列モデル>http://www.econ.hit-u.ac.jp/~tanaka/ecmr/...
終了行:
*自己回帰移動平均モデルとは:Autoregressive moving averag...
統計学において時系列データに適用されるモデルである。Georg...
-モデルは自己回帰(AR)部分と移動平均(MA)部分からなる。一般...
*ARMA(p, q)の定義 [#m1f52782]
ARMA(p, q)という表記は、p次の自己回帰とq次の移動平均を組...
yt=a1yt-1+a2yt-2+...+apyt-p + b1ut-1+b2ut-2+...+bqut-q
-ただし、誤差項 ut は一般に「独立かつ同一の分布に従う」(i...
-実データに適用する場合、ARMAモデルの p と q を選択後、誤...
-純粋なARモデルでは、これに Yule-Walker 方程式を利用する...
*自己回帰モデルと最小二乗法 [#c1c09723]
AR(p)モデルは次の式で表される。
yt=c+a1yt-1+a2yt-2+...+apqut-p+ut
C:定数項
誤差項utは、σ2の分散をもつホワイトノイズ
-モデルとして定常的であるために、パラメータの値には何らか...
-時系列データが系列相関をもつかか否かの検定方法として、ダ...
*AR(1)の場合 [#u031c94b]
yt=C+ayt-1+ut
-この過程は |a|<1 であれば、共分散定常性を有する。 a=1で...
--期待値は、両辺の期待値をとると
E(yt)=E(C+ayt-1+ut)
=C+aE(yt-1)+E(ut)
=C+aμy
従って
μy=E(yt)=c/(1-a)
となる。c = 0 なら、平均も 0 になる。
--c=0ならば、分散は次のようになる。
Var(yt)=E(yt^2)-μy^2=σ2/(1-a^2)
--c=0ならば、自己共分散は次の式で表される。
V(yt+iyt)=E(yt+iyi)-μy^2=[σ2/(1-a^2)]a^|i|
すなわち、|a|<1なので、i個ずれれば、自己相関が減衰して消...
*パラメータ推定:予測誤差二乗和の最小化:The Yule Walker ...
観測値の自己相関係数は、信号の特徴抽出にも用いられます。...
パラメータの推定方法に、観測値の自己相関係数を用いたYule ...
-自己相関係数の定義
Rk=E(yt-kyt)
-ARMA(p,q)の時系列信号yt の相関関数Rk は、AR パラメータの...
まずARMA(p.q)の式両辺にyt-k をかけると
yt-kyt=a1yt-kyt-1+..+apyt-kyt-p + b1yt-kut-1+..+bqyt-kut-q
さらに、両辺の時間平均をとると
Rk+a1Rk-1+a2Rk-2+...+ apRk-p=b1E(yt-kut-1)+...+bqE(yt-kq...
一方、システムのインパルス応答をhjとすれば
yt=Σhjut-j ΣはJ=0~無限大の和
ut は平均値0、分散σ の白色雑音系列であるので、上の期待値は
Rk+a1Rk-1+a2Rk-2+...+ apRk-p=b1E(yt-kut-1)+...+bqE(yt-kq...
Rk+a1Rk-1+a2Rk-2+...+ apRk-p=0 ...
''kが q+1 以上のときにARMA(p, q) モデルの時系列信号yt の...
kが q+1 以上のときに
Rk+a1Rk-1+a2Rk-2+...+ apRk-p=0
であるので、''この方程式を解けば、自己回帰項のパラメータ...
--移動平均項のない自己回帰モデルの場合は、k>q+1またはK=q...
*自己回帰モデルの係数を求める正規方程式(Yule-Walker 方程...
ytを過去のP 個の観測値yt-1,yt-2,....yt-pの線形結合で表現...
y*t=a1yt-1+a2yt-2+...+apyt-p
このとき、t期までの観測データの予測誤差は、
et=yt-y*t t=0,1,2,...t
で与えられるが、この予測誤差の二乗期待値σ^2は
J=E( et^2)
であたえられる。
J=E{[yt-a1yt-1-a2yt-2-...-apyt-p]^2}
=ΣΣ akaj E(yt-lyt-j) 前のΣはk=0~p,後ろのΣはj=0~pの和
=Σak Σaj Rj-k
--ノイズ関数の値は互いに独立であり、ゼロより大きいj につ...
この予測誤差の二乗和を最小にする係数を求める式がYule-Walk...
a = (1,a1,a2,...ap)
とする(実現値yt に乗じるa0 は1 と考える)。つまり、式をa...
ΣRj-kaj=0 k=1~p Σはj=1~pの合計 式(1)
また、a0 についてはそのまま書き下すと、
σ*^2=ao(a1R1+a2R2+...+apRp)
=a1R1+a2R2+...+apRp=ΣRj 式(2)
が成立する。
なお、一般に、式(1) と式(2) をあわせてYule-Walker 方程式...
*Yule-Walker の方程式の逐次解法 [#k2fe12e3]
逐次解法が存在する。
Levinson アルゴリズムとも呼ばれる。詳細は、下記を参考のこ...
*自己相関係数のパワースペクトラム(フーリエ変換)による計...
自己相関関数Rk とパワースペクトルE(n) = |X(n)|^2 は、フ...
この関係はウィーナーヒンチンの定理とよばれ、
E(n) = F[Rk] :F(・)はフーリエ変換
Rk = F-1[E(n)]:F-1(・)は逆フーリエ変換
と表される。
この関係を用いると、次のように自己相関関数が計算できる。
-1. 測定データ対してFFT を実施し、測定データのスペクトルX...
を求める。
-2. 測定データのパワースペクトル|X(n)|^2 を求める。すな...
Re[ |X(n)|^2 ] = Re[|X(n)|]^2 + Im[|X(n)|] ^2
Im[ |X(n)|^2 ] = 0
を計算する。
-3. 測定データのパワースペクトル|X(n)|^2 (k = 0,1,...) ...
し、測定データの自己相関関数Rk (k = 0,1,...) を求める。
-4. 以下のように自己相関関数の規格化を行う。
Rk = Rk/R0 (k = 0,1,...)
--PSD - MATLABでの説明:Yule-walker 法では、指定した次数...
*参考 [#peaf700f]
-[[ARMAモデルを用いた時系列解析>http://www.madlabo.com/ma...
-[[The Yule Walker Equations for the AR Coefficients.pdf>...
-[[現代時系列解析>http://www.iwanami.co.jp/.PDFS/02/0/022...
-[[Box-Jenkins によるモデル・ビルディングの方法.pdf>http:...
-[[時系列モデル>http://www.econ.hit-u.ac.jp/~tanaka/ecmr/...
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