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*等角螺旋 equiangular spiral [#n892493a]
The equiangular spiral has a lot longer history than the ...
The spiral has been known by a variety of names correspon...
--台風の螺旋
#ref(spiralexample1.JPG)
--星雲 M51
#ref(Rasen-M51.jpg)
*対数螺旋:logarithmic spiral [#i638f5bf]
それは中心からの距離が増加するにつれてらせんの間隔が幾何...
*歴史的記述 デカルトとヤコブ ベルヌーイ [#h8030d73]
After the discovery of analytical geometry by Rene Descar...
Logarithmic spiral was one of those curves which at that ...
radian is approximately equal to 57 degrees).
The constant 'a' represents the rate of increase of the ...
等角らせんはデカルトによって発見され,1638年のメルセンヌ...
--デカルトがメルセンヌに研究成果を書き送った1638年はガリ...
デカルトによるこの螺旋の定義から、まず等角螺旋として研究...
r=a^θ
と表せます。両辺の自然対数をとって整理すると
θ=log r/log a
aは定数だから、log aも定数で1/log a をkとすると
θ=k log r
と表すことが出来ます。つまり「極のまわりの回転角は半径の...
#ref(Log-spiral.JPG)
-17 世紀の数学者ヤコブ・ベルヌーイは等角螺旋のもつ様々な...
#ref(jacobbernoulli.JPG)
-対数螺旋の動径と接線のなす角度がθに関わりなく一定である...
*いろいろな螺旋と呼び名 [#f50d3841]
Equiangular spiral (also known as logarithmic spiral, Ber...
A special case of equiangular spiral is the circle, where...
*定義そして長さ、曲率、正接角 [#f4390a66]
The equation of Equiangular (or logarithmic spiral in Pol...
r=ae^bθ
where r is the distance from the Origin, is the angle fro...
The rate of change of Radius is
dr/dθ=abe^bθ=br
and the Angle between the tangent and radial line at the ...
is
#ref(rasen1.gif)
So, as b->0 then φ->π/2 and the spiral approaches a C...
If P is any point on the spiral, then the length of the s...
The Arc Length, Curvature, and Tangential Angle of the lo...
#ref(rasen2.gif)
R=1/κ=bs.
基本性質:曲率半径Rが弧長(路長)s に比例する。
*性質 Properties of Logarithmic Spiral [#i145e29e]
--1. The most important property of a logarithmic spiral...
The reason for this is e^aφ acts as common ratio in the ...
e^a(φ+θ)=e^aφ・e^aθ).
--2. If from any point on a logarithmic spiral one starts...
--3. Any line segment drawn through the origin always int...
*螺旋の例題 [#vcfde456]
[問題」1辺の長さが100mの正方形の頂点に,A,B,C,D...
--[解答]4匹の犬が中心で同時に追いつくまでの途中を考え...
--[証明]軌跡はOを極とした極座標(r,θ)を考える。AはBに...
正方形の1辺の長さをsとすれば、A点では r=s/√2 θ=π/4なの...
s/√2=a e^π/4 より a=s/√2e^(-π/4)
となる。
曲線の長さLは,媒介変数表示x=f ( t ),y=g ( t )の場合は...
L=∫α->β√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2 dt
これを極座標の場合に変換
x=r cosθ,y=r sinθですから,積の微分を使って, dx/dθ= ...
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=(dr/dθ・cosθ-r sinθ)^2+(dr/dθ・sinθ...
長さは dθ=dtとして
L=∫α->β √((dr/dθ)^2+r^2) dθ
この式にr=a・e^θを代入します。dr/dθ=rより
L=∫α->β √2・rdθ=∫α->β √2・a・e^θdθ=√2・a(e^β-e^α)
求める区間はα=-∞ からβ=π/4 であるので、
L=√2・ae^(π/4)
さきに求めたa=s/√2e^(-π/4)を代入すれば L=sとなる。
従って,問題の場合はs=100mですから、螺旋長も100mとなる。
#ref(rasen-problem.JPG)
*黄金比、黄金分割と螺旋 [#d6a13cf8]
The book Dynamic Symmetry of Jay Hambidge(published in 19...
(length and width) of golden rectangles are most beautifu...
It is interesting to note that if the breadth of a golden...
--A golden rectangle is one whose side lengths are in the...
#ref(goldenrectangle.JPG)
--ケプラーの三角形の作図方法を繰り返すことで、黄金比の螺...
*螺旋の長さを求める [#fb8802ff]
次の曲線の長さを求めよ
r=e^(aθ) 0≦θ≦2π
(解)公式より
長さは s=∫[0→2π]√{e^(2aθ)+a^2e^(2aθ)}dθ
=∫[0→2π]√{e^(2aθ)(a^2+1)}dθ
=∫[0→2π]√{(√a^2+1)∫e^(aθ)dx
0≦θ≦2π の区間では
{√(a^2+1)}(a^(2πa)-1)/a
*渦巻き銀河(子持ち銀河 M51)の運動方程式 [#ya46b78c]
-[[渦巻き銀河の力学的説明>http://aias.us/documents/uft/a1...
#ref(galaxy.JPG)
-ジョンズ・ホプキンス大のホランド・フォードは、直径100光...
ある解釈では、ブラックホールの回りを回る、冷たいガスとチ...
-負のポテンシャルエネルギーが螺旋星雲を形づくる。時空の歪...
-相対論によれば空間は時空連続体であり、一般相対性理論では...
アインシュタイン方程式から得られる時空は、ブラックホール...
。
-暗黒エネルギー(ダークエネルギー)は、近年行われた遠方超新...
*ベルヌーイ試行と大数の法則 [#kd51c84a]
ヤコブ・ベルヌーイ(Jacques Bernoulli 1654-1705)は確率論の...
硬貨を投げる際、投げる回数を多くすれば表と裏が出る確率は1...
またサイコロを投げた場合、回数が多くなればある目の出る確...
ベルヌーイはスイスの数学者で、名著「推測法」で新奇さ、素...
ベルヌーイ試行(Bernoulli Trials)とは白か黒か・表か裏か・...
成功の可能性を(p)、失敗の可能性を(1-p)とする。n回の成功...
Prob(n成功、またはm失敗)=(n+m)!/n!×m!×p^n(1-p)^m
*参考 [#e25a73d9]
-[[オイラー・スパイラル 数学的歴史>http://www.eecs.berke...
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*等角螺旋 equiangular spiral [#n892493a]
The equiangular spiral has a lot longer history than the ...
The spiral has been known by a variety of names correspon...
--台風の螺旋
#ref(spiralexample1.JPG)
--星雲 M51
#ref(Rasen-M51.jpg)
*対数螺旋:logarithmic spiral [#i638f5bf]
それは中心からの距離が増加するにつれてらせんの間隔が幾何...
*歴史的記述 デカルトとヤコブ ベルヌーイ [#h8030d73]
After the discovery of analytical geometry by Rene Descar...
Logarithmic spiral was one of those curves which at that ...
radian is approximately equal to 57 degrees).
The constant 'a' represents the rate of increase of the ...
等角らせんはデカルトによって発見され,1638年のメルセンヌ...
--デカルトがメルセンヌに研究成果を書き送った1638年はガリ...
デカルトによるこの螺旋の定義から、まず等角螺旋として研究...
r=a^θ
と表せます。両辺の自然対数をとって整理すると
θ=log r/log a
aは定数だから、log aも定数で1/log a をkとすると
θ=k log r
と表すことが出来ます。つまり「極のまわりの回転角は半径の...
#ref(Log-spiral.JPG)
-17 世紀の数学者ヤコブ・ベルヌーイは等角螺旋のもつ様々な...
#ref(jacobbernoulli.JPG)
-対数螺旋の動径と接線のなす角度がθに関わりなく一定である...
*いろいろな螺旋と呼び名 [#f50d3841]
Equiangular spiral (also known as logarithmic spiral, Ber...
A special case of equiangular spiral is the circle, where...
*定義そして長さ、曲率、正接角 [#f4390a66]
The equation of Equiangular (or logarithmic spiral in Pol...
r=ae^bθ
where r is the distance from the Origin, is the angle fro...
The rate of change of Radius is
dr/dθ=abe^bθ=br
and the Angle between the tangent and radial line at the ...
is
#ref(rasen1.gif)
So, as b->0 then φ->π/2 and the spiral approaches a C...
If P is any point on the spiral, then the length of the s...
The Arc Length, Curvature, and Tangential Angle of the lo...
#ref(rasen2.gif)
R=1/κ=bs.
基本性質:曲率半径Rが弧長(路長)s に比例する。
*性質 Properties of Logarithmic Spiral [#i145e29e]
--1. The most important property of a logarithmic spiral...
The reason for this is e^aφ acts as common ratio in the ...
e^a(φ+θ)=e^aφ・e^aθ).
--2. If from any point on a logarithmic spiral one starts...
--3. Any line segment drawn through the origin always int...
*螺旋の例題 [#vcfde456]
[問題」1辺の長さが100mの正方形の頂点に,A,B,C,D...
--[解答]4匹の犬が中心で同時に追いつくまでの途中を考え...
--[証明]軌跡はOを極とした極座標(r,θ)を考える。AはBに...
正方形の1辺の長さをsとすれば、A点では r=s/√2 θ=π/4なの...
s/√2=a e^π/4 より a=s/√2e^(-π/4)
となる。
曲線の長さLは,媒介変数表示x=f ( t ),y=g ( t )の場合は...
L=∫α->β√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2 dt
これを極座標の場合に変換
x=r cosθ,y=r sinθですから,積の微分を使って, dx/dθ= ...
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=(dr/dθ・cosθ-r sinθ)^2+(dr/dθ・sinθ...
長さは dθ=dtとして
L=∫α->β √((dr/dθ)^2+r^2) dθ
この式にr=a・e^θを代入します。dr/dθ=rより
L=∫α->β √2・rdθ=∫α->β √2・a・e^θdθ=√2・a(e^β-e^α)
求める区間はα=-∞ からβ=π/4 であるので、
L=√2・ae^(π/4)
さきに求めたa=s/√2e^(-π/4)を代入すれば L=sとなる。
従って,問題の場合はs=100mですから、螺旋長も100mとなる。
#ref(rasen-problem.JPG)
*黄金比、黄金分割と螺旋 [#d6a13cf8]
The book Dynamic Symmetry of Jay Hambidge(published in 19...
(length and width) of golden rectangles are most beautifu...
It is interesting to note that if the breadth of a golden...
--A golden rectangle is one whose side lengths are in the...
#ref(goldenrectangle.JPG)
--ケプラーの三角形の作図方法を繰り返すことで、黄金比の螺...
*螺旋の長さを求める [#fb8802ff]
次の曲線の長さを求めよ
r=e^(aθ) 0≦θ≦2π
(解)公式より
長さは s=∫[0→2π]√{e^(2aθ)+a^2e^(2aθ)}dθ
=∫[0→2π]√{e^(2aθ)(a^2+1)}dθ
=∫[0→2π]√{(√a^2+1)∫e^(aθ)dx
0≦θ≦2π の区間では
{√(a^2+1)}(a^(2πa)-1)/a
*渦巻き銀河(子持ち銀河 M51)の運動方程式 [#ya46b78c]
-[[渦巻き銀河の力学的説明>http://aias.us/documents/uft/a1...
#ref(galaxy.JPG)
-ジョンズ・ホプキンス大のホランド・フォードは、直径100光...
ある解釈では、ブラックホールの回りを回る、冷たいガスとチ...
-負のポテンシャルエネルギーが螺旋星雲を形づくる。時空の歪...
-相対論によれば空間は時空連続体であり、一般相対性理論では...
アインシュタイン方程式から得られる時空は、ブラックホール...
。
-暗黒エネルギー(ダークエネルギー)は、近年行われた遠方超新...
*ベルヌーイ試行と大数の法則 [#kd51c84a]
ヤコブ・ベルヌーイ(Jacques Bernoulli 1654-1705)は確率論の...
硬貨を投げる際、投げる回数を多くすれば表と裏が出る確率は1...
またサイコロを投げた場合、回数が多くなればある目の出る確...
ベルヌーイはスイスの数学者で、名著「推測法」で新奇さ、素...
ベルヌーイ試行(Bernoulli Trials)とは白か黒か・表か裏か・...
成功の可能性を(p)、失敗の可能性を(1-p)とする。n回の成功...
Prob(n成功、またはm失敗)=(n+m)!/n!×m!×p^n(1-p)^m
*参考 [#e25a73d9]
-[[オイラー・スパイラル 数学的歴史>http://www.eecs.berke...
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