逆行列と公式
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開始行:
*行列の積とは [#t0e5b121]
#ref(matrix roduct.JPG)
*逆行列とは [#v11cec98]
正方行列 A={aij}の逆行列(inverse matrix)とは
AB=I Iは単位行列
を満たすBであり、B=A^(-1) またはA- またはA~ で表わす。
但し の行列式(determinant) が零でない(正則行列)場合のみ...
--n 次の正方行列A の逆行列が存在するとき、A は正則である...
-A をn 次の正方行列とする。このとき、次の3条件は同値であ...
#ref(inverse matrix.JPG)
*逆行列の公式 [#y5a359ac]
公式: (A+BC)~ = A~ - A~B(I+CA~B)~CA~
-証明:左辺の逆行列を右辺に掛け、単位行列になる。
(A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - B(I+CA~B)~CA...
だが、右辺の最後の二項は、
B(I+CA~B)~CA~ + BCA~B(I+CA~B)~CA~ = B(I+CA~B)(I+CA~B)~CA...
なので、
(A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - BCA~ = AA~ = I
*公式いろいろ [#d1555656]
#ref(matrix lemma.JPG)
*ガウス・ジョルダン(Gauss Jordan)消去法 [#f6396309]
Gauss-Jordan消去法とは,連立1次方程式
A x = y
をGauss消去法と同様の方法,すなわち行単位での実数倍,行同...
x =A y
を求める方法である。
-実例:下記の行列Aの逆行列A-1を求めよ.
#ref(matrix1.JPG)
--手順1:A x = y(= I y)の係数行列を取り出す.
#ref(matrix2.JPG)
--手順2:上式の第2行+第1行×3,第3行−第1行
#ref(mattrix2-0.JPG)
--手順3:上式第3行−第2行
#ref(matrix3.JPG)
--手順4:上式の第1行×(-1)−第3行×0.4,第2行×0.5+第3行×0.7...
#ref(matrix4.JPG)
--手順5:上式の第1行+第2行
#ref(matrix5.JPG)
--まとめ:以上より,行列Aの逆行列A-1は
#ref(matrix6.JPG)
--ガウスの消去法は未知数が多くなると適用できないのはなぜ...
手順として、最後の行の未知数を1とし、それ以外は0となるよ...
--参考1:[[連立方程式の解法>http://www.kogures.com/hitos...
--参考2:[[数値計算法>http://sstweb.ee.ous.ac.jp/lecture...
終了行:
*行列の積とは [#t0e5b121]
#ref(matrix roduct.JPG)
*逆行列とは [#v11cec98]
正方行列 A={aij}の逆行列(inverse matrix)とは
AB=I Iは単位行列
を満たすBであり、B=A^(-1) またはA- またはA~ で表わす。
但し の行列式(determinant) が零でない(正則行列)場合のみ...
--n 次の正方行列A の逆行列が存在するとき、A は正則である...
-A をn 次の正方行列とする。このとき、次の3条件は同値であ...
#ref(inverse matrix.JPG)
*逆行列の公式 [#y5a359ac]
公式: (A+BC)~ = A~ - A~B(I+CA~B)~CA~
-証明:左辺の逆行列を右辺に掛け、単位行列になる。
(A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - B(I+CA~B)~CA...
だが、右辺の最後の二項は、
B(I+CA~B)~CA~ + BCA~B(I+CA~B)~CA~ = B(I+CA~B)(I+CA~B)~CA...
なので、
(A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - BCA~ = AA~ = I
*公式いろいろ [#d1555656]
#ref(matrix lemma.JPG)
*ガウス・ジョルダン(Gauss Jordan)消去法 [#f6396309]
Gauss-Jordan消去法とは,連立1次方程式
A x = y
をGauss消去法と同様の方法,すなわち行単位での実数倍,行同...
x =A y
を求める方法である。
-実例:下記の行列Aの逆行列A-1を求めよ.
#ref(matrix1.JPG)
--手順1:A x = y(= I y)の係数行列を取り出す.
#ref(matrix2.JPG)
--手順2:上式の第2行+第1行×3,第3行−第1行
#ref(mattrix2-0.JPG)
--手順3:上式第3行−第2行
#ref(matrix3.JPG)
--手順4:上式の第1行×(-1)−第3行×0.4,第2行×0.5+第3行×0.7...
#ref(matrix4.JPG)
--手順5:上式の第1行+第2行
#ref(matrix5.JPG)
--まとめ:以上より,行列Aの逆行列A-1は
#ref(matrix6.JPG)
--ガウスの消去法は未知数が多くなると適用できないのはなぜ...
手順として、最後の行の未知数を1とし、それ以外は0となるよ...
--参考1:[[連立方程式の解法>http://www.kogures.com/hitos...
--参考2:[[数値計算法>http://sstweb.ee.ous.ac.jp/lecture...
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