非線形状態空間モデルの粒子フィルタ
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開始行:
*非線形状態空間モデル [#nfe35c91]
-標準形
xt+1=f(xt,wt):状態推移式
yt=h(xt,et) :観測式
wtはシステムノイズ、etは観測ノイズで相互に独立とする。
*事後確率密度関数の逐次表現 [#wd91f907]
観測結果{y0,y1,...yt}をYt={yt}で表わし、観測後の条件付き...
p(xt|Yt)=p(yt|xt)p(xt|Yt-1)/p(yt|Yt-1)
p(yt|Yt-1)=∫p(yt|xt)P(xt|Yt-1)dxt
また、状態xt+1のYtによる事後確率密度関数は、次のように表...
p(xt+1|Yt)=∫p(xt+1|xt)P(xt|Yt)dxt
初期分布は次式で表わす。
P(x0|Y-1)=P(x0)
線形のカルマンフィルタでは、wt,etをガウス分布と仮定するこ...
*粒子フィルタ [#rb2832f9]
最近のシミュレーションによる方法として粒子フィルタが注目...
xt=(xt(k),Xt(n))
xt(k)は、条件付きの線形ダイナミクスをもつ状態変数である。
Xt(n)は、非線形状態ベクトルである。
前者は、線形部分であり、有限次元の最適フィルタと推定でき...
--このような方法はRao-Blackwellizationとも言われ、ベイズ...
以下では、線形部分構造をもつ非線形状態空間モデルの一般的...
技術的には、以下の応用分野が考えられる。
-位置追跡システム、ナビゲーション
-金融時系列分析
*粒子フィルタの紹介 [#haaf67a3]
標準的な粒子フィルタをまず紹介する。
-粒子フィルタは、逐次的に事後密度関数を推定する問題を解い...
以下では、大文字Xt={xt}で、t期までの状態の集合を表わす。Y...
最も関心をもつのは、フィルタリング事後密度 P(xt|Yt)であ...
P*(xt|Yt)=Σqt*(i)δ(xt-xt(i))
qt*(i)は、正規化された重要度の重み
このqt(i)は、次式で修正(update)される。
qt(i)=P(yt|xt(i))qt-1(i)
この式の意味は、大きい尤度をもつサンプルにより大きい重要...
完全な粒子フィルタのアルゴリズムは、次式で与えられる。詳...
-1.初期化:粒子i=1~Nの事前確率を初期化、X0|-1(i)を与える...
-2.重要度の推定と正規化を行う
qt(i)=P(yt| xt|t-1(i)) :重要度の推定
qt*(i)=qt(i)/[Σ qt(i)] :正規化
-3.観測による修正(update):
Prob{xt|t(i)=xt|t-1(j)}=qt(j)
-4.1期予測修正:
xt+1|t(i)=P(xt+1|t | xt|t(i))
-5.t-->t+1として、ステップ2に戻る。
*非線形状態空間モデルの推定 [#z457c637]
次のモデルを考える
xt+1(n)=ft(xt(n)) +wt(n) :非線形部分
Xt+1(k)=Atxt(K) + Wt(k)
yt=h(xt(n)) +et
Wt(k)は平均0、共分散Qt(k)、Wt(n)は平均0、共分散Qt(n)の...
etは、平均0、共分散Rtのガウス型の観測ノイズ
ベイズの定理より
P(xt(k),Xt(n)|Yt)=P(xt(K)|Xt(n),Yt)・P(Xt(n)|Yt)
右辺の前の項は、線形部分構造の条件付き確率であるので、カ...
それぞれの部分にわけて、計算できるので便利である。
-補題1:線形部分
線形部分のフィルター値xt|t(k)と1期予測値xt+1|tの確率密度...
P(xt(k)|Xt,Yt)=N(x*t|t(k),Pt|t)
P(xt+1(k)|xt+1,Yt)=N(x*t+1,pt+1|t)
のように、正規分布N(平均,共分散)の形で与えられ、そのアル...
--フィルタリング値
x*t|t(k)=x*t|t-1(k)+Kt(yt-ht-Ctx*t|t-1)
Pt|t-1=Pt|t-1 - KtCtPt|t-1
St=CtPt|t-1Ct'+Rt
Kt=Pt|t-1Ct'(St)^(-1)
--1期予測
x*t+1|t(k)=Atx*t|t(k)
Pt+1|t=AtPt|t(At')+Qt(k)
-補題2
事後密度関数は
P(xt(n)|Yt)={P(yt|Xt(n),Yt-1)p(xt(n)|Xt(n),Yt-1)/P(yt|Yt...
上式であたえられる。p(xt-1(n)|yt-1)は、前の計算から与えら...
p(yt|Xt(n),Yt-1)=N{ht-Ctx*t|t-1(k),CtPt|t-1Ct'+Rt)
p(xt+1(n)|xt(n),Yt)=N(ft(n),Qt(n)
-以上の2つの補題から、全体のアルゴリズムを構成できる。
--詳細は、参考(4)の研究を見てください。
*参考 [#x5837960]
-(1)[[Arnaud Doucet, Neil J. Gordon, and Vikram Krishnamu...
-(2)[[Arnaud Doucet;On Sequential Simulation-Based Metho...
-(3)[[On sequential Monte Carlo sampling methods for Baye...
-(4)[[Thomas Sch¨on, Fredrik Gustafsson, Member, IEEE,...
終了行:
*非線形状態空間モデル [#nfe35c91]
-標準形
xt+1=f(xt,wt):状態推移式
yt=h(xt,et) :観測式
wtはシステムノイズ、etは観測ノイズで相互に独立とする。
*事後確率密度関数の逐次表現 [#wd91f907]
観測結果{y0,y1,...yt}をYt={yt}で表わし、観測後の条件付き...
p(xt|Yt)=p(yt|xt)p(xt|Yt-1)/p(yt|Yt-1)
p(yt|Yt-1)=∫p(yt|xt)P(xt|Yt-1)dxt
また、状態xt+1のYtによる事後確率密度関数は、次のように表...
p(xt+1|Yt)=∫p(xt+1|xt)P(xt|Yt)dxt
初期分布は次式で表わす。
P(x0|Y-1)=P(x0)
線形のカルマンフィルタでは、wt,etをガウス分布と仮定するこ...
*粒子フィルタ [#rb2832f9]
最近のシミュレーションによる方法として粒子フィルタが注目...
xt=(xt(k),Xt(n))
xt(k)は、条件付きの線形ダイナミクスをもつ状態変数である。
Xt(n)は、非線形状態ベクトルである。
前者は、線形部分であり、有限次元の最適フィルタと推定でき...
--このような方法はRao-Blackwellizationとも言われ、ベイズ...
以下では、線形部分構造をもつ非線形状態空間モデルの一般的...
技術的には、以下の応用分野が考えられる。
-位置追跡システム、ナビゲーション
-金融時系列分析
*粒子フィルタの紹介 [#haaf67a3]
標準的な粒子フィルタをまず紹介する。
-粒子フィルタは、逐次的に事後密度関数を推定する問題を解い...
以下では、大文字Xt={xt}で、t期までの状態の集合を表わす。Y...
最も関心をもつのは、フィルタリング事後密度 P(xt|Yt)であ...
P*(xt|Yt)=Σqt*(i)δ(xt-xt(i))
qt*(i)は、正規化された重要度の重み
このqt(i)は、次式で修正(update)される。
qt(i)=P(yt|xt(i))qt-1(i)
この式の意味は、大きい尤度をもつサンプルにより大きい重要...
完全な粒子フィルタのアルゴリズムは、次式で与えられる。詳...
-1.初期化:粒子i=1~Nの事前確率を初期化、X0|-1(i)を与える...
-2.重要度の推定と正規化を行う
qt(i)=P(yt| xt|t-1(i)) :重要度の推定
qt*(i)=qt(i)/[Σ qt(i)] :正規化
-3.観測による修正(update):
Prob{xt|t(i)=xt|t-1(j)}=qt(j)
-4.1期予測修正:
xt+1|t(i)=P(xt+1|t | xt|t(i))
-5.t-->t+1として、ステップ2に戻る。
*非線形状態空間モデルの推定 [#z457c637]
次のモデルを考える
xt+1(n)=ft(xt(n)) +wt(n) :非線形部分
Xt+1(k)=Atxt(K) + Wt(k)
yt=h(xt(n)) +et
Wt(k)は平均0、共分散Qt(k)、Wt(n)は平均0、共分散Qt(n)の...
etは、平均0、共分散Rtのガウス型の観測ノイズ
ベイズの定理より
P(xt(k),Xt(n)|Yt)=P(xt(K)|Xt(n),Yt)・P(Xt(n)|Yt)
右辺の前の項は、線形部分構造の条件付き確率であるので、カ...
それぞれの部分にわけて、計算できるので便利である。
-補題1:線形部分
線形部分のフィルター値xt|t(k)と1期予測値xt+1|tの確率密度...
P(xt(k)|Xt,Yt)=N(x*t|t(k),Pt|t)
P(xt+1(k)|xt+1,Yt)=N(x*t+1,pt+1|t)
のように、正規分布N(平均,共分散)の形で与えられ、そのアル...
--フィルタリング値
x*t|t(k)=x*t|t-1(k)+Kt(yt-ht-Ctx*t|t-1)
Pt|t-1=Pt|t-1 - KtCtPt|t-1
St=CtPt|t-1Ct'+Rt
Kt=Pt|t-1Ct'(St)^(-1)
--1期予測
x*t+1|t(k)=Atx*t|t(k)
Pt+1|t=AtPt|t(At')+Qt(k)
-補題2
事後密度関数は
P(xt(n)|Yt)={P(yt|Xt(n),Yt-1)p(xt(n)|Xt(n),Yt-1)/P(yt|Yt...
上式であたえられる。p(xt-1(n)|yt-1)は、前の計算から与えら...
p(yt|Xt(n),Yt-1)=N{ht-Ctx*t|t-1(k),CtPt|t-1Ct'+Rt)
p(xt+1(n)|xt(n),Yt)=N(ft(n),Qt(n)
-以上の2つの補題から、全体のアルゴリズムを構成できる。
--詳細は、参考(4)の研究を見てください。
*参考 [#x5837960]
-(1)[[Arnaud Doucet, Neil J. Gordon, and Vikram Krishnamu...
-(2)[[Arnaud Doucet;On Sequential Simulation-Based Metho...
-(3)[[On sequential Monte Carlo sampling methods for Baye...
-(4)[[Thomas Sch¨on, Fredrik Gustafsson, Member, IEEE,...
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