黄金数
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開始行:
*黄金数とは [#ge16b58c]
黄金分割や黄金四角形で現れる数φです。
φ=(1+√5)/2
これは、ケプラーの三角形で紹介していますように、正方形の1...
そして、この黄金四角形の対角線と底辺の角度は 黄金角度と...
*黄金分割の定義 [#k54609bf]
長さx+1の線分を左からx:1に内分する。このとき下記の関...
χ:1=χ+1:χ (黄金分割の定義)
この解は、
χ2-χ-1=0
より、
x=φ=(1+√5)/2 x=(1-√5)/2=1-φ の2根
正の根が分割比を与える黄金数です。
なお,φ=1.618…とすると,次の関係が成立する。
φ2=φ+1=φ/(φ-1)=2.618…
1/φ=φ-1=0.618…
(φ-1)/φ=0.382…
*フィボナッチ数列 [#pdcb493b]
フィボナッチ数列の隣り合う2つの数の比は、黄金数に収束しま...
*黄金分割法 [#m77e885a]
スカラー関数y=f(x)の最小値をもとめる1次元探索法に、黄金分...
これは区間[a,b]内を左から1:1-φに内分する点x1を求め、次...
*黄金比の螺旋 [#bdb6f908]
原点からの長さが幾何級数的に増大する螺旋を対数螺旋とか等...
f(n)=φ^n/√5 φ=(1+√5)/2は指数関数で、対数らせ...
黄金螺旋は、5角形と関係がある。
黄金角度で円を分割すると5角形が得られる。詳細は--->黄金角度
植物は黄金角で葉(種)を作っているようです。葉の回転角が...
*フィボナッチ級数 の一般解[#y76407ea]
フィボナッチ級数の一般解は黄金数で表わされる。
フィボナッチ数列とは
Fn+1=Fn+Fn-1 F0=1,F1=1
そこで
an=Aα^n+Bβ^n
ただし α=φ=(1+√5)/2 β=(1-√5)/2=1-φ の2根
とすれば,αとβはx^2=x+1 の2根なので,
a0=A+B
a1=Aα+Bβ
a2=Aα^2+Bβ^2=A(α+1)+B(β+1)=(Aα+Bβ)+(...
a3=Aα^3+Bβ^3=A(2α+1)+B(2β+1)=2(Aα+B...
a4=Aα^4+Bβ^4=A(3α+2)+B(3β+2)=3(Aα+B...
ですから
Aα+Bβ=1,A+B=1
ならば、aiはフィボナッチ数列になる。
この連立方程式を解くと,A=φ/√5,B=(φ-1)/√5 となり,...
一般項 an = [φ^(n+1) - (φ-1)^(n+1)]/√5
終了行:
*黄金数とは [#ge16b58c]
黄金分割や黄金四角形で現れる数φです。
φ=(1+√5)/2
これは、ケプラーの三角形で紹介していますように、正方形の1...
そして、この黄金四角形の対角線と底辺の角度は 黄金角度と...
*黄金分割の定義 [#k54609bf]
長さx+1の線分を左からx:1に内分する。このとき下記の関...
χ:1=χ+1:χ (黄金分割の定義)
この解は、
χ2-χ-1=0
より、
x=φ=(1+√5)/2 x=(1-√5)/2=1-φ の2根
正の根が分割比を与える黄金数です。
なお,φ=1.618…とすると,次の関係が成立する。
φ2=φ+1=φ/(φ-1)=2.618…
1/φ=φ-1=0.618…
(φ-1)/φ=0.382…
*フィボナッチ数列 [#pdcb493b]
フィボナッチ数列の隣り合う2つの数の比は、黄金数に収束しま...
*黄金分割法 [#m77e885a]
スカラー関数y=f(x)の最小値をもとめる1次元探索法に、黄金分...
これは区間[a,b]内を左から1:1-φに内分する点x1を求め、次...
*黄金比の螺旋 [#bdb6f908]
原点からの長さが幾何級数的に増大する螺旋を対数螺旋とか等...
f(n)=φ^n/√5 φ=(1+√5)/2は指数関数で、対数らせ...
黄金螺旋は、5角形と関係がある。
黄金角度で円を分割すると5角形が得られる。詳細は--->黄金角度
植物は黄金角で葉(種)を作っているようです。葉の回転角が...
*フィボナッチ級数 の一般解[#y76407ea]
フィボナッチ級数の一般解は黄金数で表わされる。
フィボナッチ数列とは
Fn+1=Fn+Fn-1 F0=1,F1=1
そこで
an=Aα^n+Bβ^n
ただし α=φ=(1+√5)/2 β=(1-√5)/2=1-φ の2根
とすれば,αとβはx^2=x+1 の2根なので,
a0=A+B
a1=Aα+Bβ
a2=Aα^2+Bβ^2=A(α+1)+B(β+1)=(Aα+Bβ)+(...
a3=Aα^3+Bβ^3=A(2α+1)+B(2β+1)=2(Aα+B...
a4=Aα^4+Bβ^4=A(3α+2)+B(3β+2)=3(Aα+B...
ですから
Aα+Bβ=1,A+B=1
ならば、aiはフィボナッチ数列になる。
この連立方程式を解くと,A=φ/√5,B=(φ-1)/√5 となり,...
一般項 an = [φ^(n+1) - (φ-1)^(n+1)]/√5
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