2項分布
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開始行:
*二項分布とは [#sed120c1]
ある集団において,特性 A を持つものの割合が p であり,持...
n 人のうち x 人が特性を持つ組合せは nCx 通りある
x 人が特性 A を持つ確率は p^x,残り n - x 人が特性を持た...
f ( x ) = nCx p^x q^(n - x), x = 0,1, … ,n,p > 0,...
nCx=n!/[x!・(n-x)!]
*二項分布の平均と分散 [#mf16aea1]
二項分布の平均 E ( x ) と分散 V ( x ) は
E ( x ) = n p, V ( x ) = n p q
である。
--平均の証明
μ=E ( x ) =Σxf(x)
を求めるために,次の2項展開を考える
(q+pt)^n=ΣnCk q^(n-k) p^kt^k
両辺をtで微分する。
np(q+pt)^(n-1)=ΣnCk q^(n-k) p^k・k ・t^(k-1) ...
t=1と置くと、上式はq+p=1より
np=ΣnCk k q^(n-k) p^k=Σxf(x)=μ
(証明 終わり)
--分散の証明
V=E ((x-μ)^2)=Σ(xーμ)^2・f(x)=E(x^2)-μ^2
を求める。
(1)式を、再度微分する。
n・(n-1)・p^2(q+pt)^(n-2)=ΣnCk q^(n-k) p^k・k ・(k...
これにt=1を代入し、q+p=1より
n・(n-1)・p^2=ΣnCk q^(n-k) p^k・k ・(k-1)=E(k^2)-...
書き換えてE(k)=μ=npより
E(k^2)=n・(n-1)・p^2 - np
最初の分散の式に代入して
V==E(x^2)-μ^2=n・(n-1)・p^2 - np-(np)^2
= n^2p^2-np^2+np-n^2p^2
= np(1-p)=npq
(証明終わり)
*ベルヌーイ試行 [#zeef34a0]
1 回ごとの事象の生起確率 p が一定であるとき,実験を独立に...
2項分布は、成功の確率 p のベルヌーイ試行を n 回行った時...
-B(n, p) = f ( x ) = nCx p^x q^(n - x)
単独の x に関する確率を求めるよりも、ある区間に関する確率...
ΣB(a, p) ただし Σはa=0~nの和
-これを累積2項分布という
#ref(Sum binominal.JPG)
*2項展開と2項分布 [#oc6a0e45]
二項展開から、
[p + (1-p)]^ n = nC0 p^0(1-p)^n + nC1 p^1(1-p)^(n-1)+ … ...
これは、n回ベルにーイ試行を行った場合の成功の回数が、0,1,...
*ベルヌーイ試行と大数の法則 [#lb3fb108]
ヤコブ・ベルヌーイ(Jacques Bernoulli 1654-1705)は確率論の...
硬貨を投げる際、投げる回数を多くすれば表と裏が出る確率は1...
またサイコロを投げた場合、回数が多くなればある目の出る確...
ベルヌーイはスイスの数学者で、名著「推測法」で新奇さ、素...
ベルヌーイ試行(Bernoulli Trials)とは白か黒か・表か裏か・...
成功の可能性を(p)、失敗の可能性を(1-p)とする。n回の成功...
Prob(n成功、またはm失敗)=(n+m)!/n!×m!×p^n(1-p)^m
*ポアソン分布 [#kf66b686]
n が大きく p が小さい場合、np は適度な大きさとなるため、...
-λ = np が一定の場合、n を大きく(かつ p を小さく)しても...
すなわち、平均値が一定のベルヌーイ試行を、多数繰り返した...
-ポアソン分布は、平均も分散もλである。
*正規分布 [#z034cdc3]
np および n(1 − p) が5よりも大きい場合、B(n, p)に対する良...
これは、E ( x ) = n p, V ( x ) = n p q の正規分布で近似...
N(np,np(1 − p))
-正規分布への近似は、アブラーム・ド・モアブルが1733年に著...
#ref(binominal distribution.JPG)
*多項分布 [#l8e740c7]
多項分布(たこうぶんぷ、英: Multinomial distribution)は...
二項分布は、n 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確...
#ref(multinominaldistribution.JPG)
-k=2 の多項分布を二項分布と呼ぶ。
-期待値: E(xi)=npi
-分散 : V(xi)=npiqi=npi(1-pi)
-共分散: Cov(xi,Xj)=-npipj
終了行:
*二項分布とは [#sed120c1]
ある集団において,特性 A を持つものの割合が p であり,持...
n 人のうち x 人が特性を持つ組合せは nCx 通りある
x 人が特性 A を持つ確率は p^x,残り n - x 人が特性を持た...
f ( x ) = nCx p^x q^(n - x), x = 0,1, … ,n,p > 0,...
nCx=n!/[x!・(n-x)!]
*二項分布の平均と分散 [#mf16aea1]
二項分布の平均 E ( x ) と分散 V ( x ) は
E ( x ) = n p, V ( x ) = n p q
である。
--平均の証明
μ=E ( x ) =Σxf(x)
を求めるために,次の2項展開を考える
(q+pt)^n=ΣnCk q^(n-k) p^kt^k
両辺をtで微分する。
np(q+pt)^(n-1)=ΣnCk q^(n-k) p^k・k ・t^(k-1) ...
t=1と置くと、上式はq+p=1より
np=ΣnCk k q^(n-k) p^k=Σxf(x)=μ
(証明 終わり)
--分散の証明
V=E ((x-μ)^2)=Σ(xーμ)^2・f(x)=E(x^2)-μ^2
を求める。
(1)式を、再度微分する。
n・(n-1)・p^2(q+pt)^(n-2)=ΣnCk q^(n-k) p^k・k ・(k...
これにt=1を代入し、q+p=1より
n・(n-1)・p^2=ΣnCk q^(n-k) p^k・k ・(k-1)=E(k^2)-...
書き換えてE(k)=μ=npより
E(k^2)=n・(n-1)・p^2 - np
最初の分散の式に代入して
V==E(x^2)-μ^2=n・(n-1)・p^2 - np-(np)^2
= n^2p^2-np^2+np-n^2p^2
= np(1-p)=npq
(証明終わり)
*ベルヌーイ試行 [#zeef34a0]
1 回ごとの事象の生起確率 p が一定であるとき,実験を独立に...
2項分布は、成功の確率 p のベルヌーイ試行を n 回行った時...
-B(n, p) = f ( x ) = nCx p^x q^(n - x)
単独の x に関する確率を求めるよりも、ある区間に関する確率...
ΣB(a, p) ただし Σはa=0~nの和
-これを累積2項分布という
#ref(Sum binominal.JPG)
*2項展開と2項分布 [#oc6a0e45]
二項展開から、
[p + (1-p)]^ n = nC0 p^0(1-p)^n + nC1 p^1(1-p)^(n-1)+ … ...
これは、n回ベルにーイ試行を行った場合の成功の回数が、0,1,...
*ベルヌーイ試行と大数の法則 [#lb3fb108]
ヤコブ・ベルヌーイ(Jacques Bernoulli 1654-1705)は確率論の...
硬貨を投げる際、投げる回数を多くすれば表と裏が出る確率は1...
またサイコロを投げた場合、回数が多くなればある目の出る確...
ベルヌーイはスイスの数学者で、名著「推測法」で新奇さ、素...
ベルヌーイ試行(Bernoulli Trials)とは白か黒か・表か裏か・...
成功の可能性を(p)、失敗の可能性を(1-p)とする。n回の成功...
Prob(n成功、またはm失敗)=(n+m)!/n!×m!×p^n(1-p)^m
*ポアソン分布 [#kf66b686]
n が大きく p が小さい場合、np は適度な大きさとなるため、...
-λ = np が一定の場合、n を大きく(かつ p を小さく)しても...
すなわち、平均値が一定のベルヌーイ試行を、多数繰り返した...
-ポアソン分布は、平均も分散もλである。
*正規分布 [#z034cdc3]
np および n(1 − p) が5よりも大きい場合、B(n, p)に対する良...
これは、E ( x ) = n p, V ( x ) = n p q の正規分布で近似...
N(np,np(1 − p))
-正規分布への近似は、アブラーム・ド・モアブルが1733年に著...
#ref(binominal distribution.JPG)
*多項分布 [#l8e740c7]
多項分布(たこうぶんぷ、英: Multinomial distribution)は...
二項分布は、n 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確...
#ref(multinominaldistribution.JPG)
-k=2 の多項分布を二項分布と呼ぶ。
-期待値: E(xi)=npi
-分散 : V(xi)=npiqi=npi(1-pi)
-共分散: Cov(xi,Xj)=-npipj
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